云南异步电网中频率振荡的分段线性模型分析方法

陈亦平; 李崇涛; 杨若朴; 张勇; 唐卓尧; CHEN Yiping; LI Chongtao; YANG Ruopu; ZHANG Yong; TANG Zhuoyao

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云南异步电网中频率振荡的分段线性模型分析方法

陈亦平 ¹
李崇涛 ²
杨若朴 ²
张勇 ¹
唐卓尧 ¹

1. 中国南方电网电力调度控制中心，广东省广州市 510623 ； 2. 西安交通大学电气工程学院，陕西省西安市 710049

最近更新：2020-03-16

DOI：10.7500/AEPS20190729004

目录contents

摘要

云南异步联网试验中部分频率振荡现象发生在调速器死区附近，为分析此问题，文中建立了考虑调速器死区的分段线性系统模型。通过稳态和动态行为分析阐明了调速器死区对频率稳定性的影响。研究结果表明，增强型死区可能导致系统不存在平衡点，引起频率在死区附近振荡；同时分段线性化系统的稳定性由各频率区间对应的线性系统特征值决定，系统的负阻尼效应也会导致频率失稳，采用简化系统模型和云南电网实际模型均能仿真再现试验中的不同频率振荡现象。

关键词

异步联网; 频率振荡; 增强型死区; 调速器; 小信号分析

0 引言

云南电网异步联网后通过楚穗、普侨、牛从、金中、永富以及鲁西背靠背共6回直流系统与南方电网中东部电网实现异步互联 ^[

1] 。在2016年3月28日异步联网试验中，切断云南电网和主网之间的交流线路后，云南电网出现了振荡频率为0.053 Hz的振荡现象，不同发电厂的频率特性几乎相同，所有发电机保持同步运行。在实际电力系统中，功角振荡较为常见，功角稳定是指互联电力系统中的同步机在受到扰动后保持同步运行的能力，振荡频率通常大于0.1 Hz ^{[参考文献 2
百度学术}2] 。因此可判断本次试验中出现的振荡属于频率振荡。频率稳定性反映了系统在发电机和负荷之间保持平衡的能力 ^{[参考文献 3
百度学术}3] 。频率失稳问题往往与控制因素有关：汽轮机控制过快 ^{[参考文献 4
百度学术}4] 、控制器协调性较差 ^{[参考文献 5
百度学术}5, 6, 7] 、孤岛运行 ^{[参考文献 8
百度学术}8] 、水电调频占主导地位 ^{[参考文献 9
百度学术}9] 等均可能导致频率振荡。

对本次试验中出现的频率振荡，国内已有多篇文献进行了分析：文献[

10]分析了超低频振荡在振荡形式及机理上与低频振荡的区别。文献[11, 12]基于阻尼转矩法，认为水轮机向系统提供的负阻尼是导致频率振荡的主要原因，频率振荡时系统处于临界阻尼状态，总体阻尼比为0。文献[13, 14]认为水轮机是非最小相位系统，导致传递函数相位在振荡频率附近大幅滞后是使系统出现频率振荡的主要原因。文献[15, 16, 17]分析了水轮机调速器系统各参数变化对系统阻尼的影响。文献[18]认为异步试验中，主力水电厂采用的增强型调速器降低了单机和系统整体的阻尼水平。

目前的研究对于该问题往往基于系统在平衡点附近的线性化模型展开论述，忽略了一次调频死区附近的非线性特征，无法解释部分故障录波的时域特征。本文首先对故障录波进行了分析和归纳；建立了频率稳定性分析的分段线性系统模型；随后分别从稳态和动态的角度分析增强型死区对系统频率稳定性存在不利的影响；最后结合简化测试系统和云南电网大系统模型的仿真结果，对此次试验中出现的频率振荡作出科学的解释。

1 异步试验中频率振荡的时域特征

根据云南电网相量测量单元（PMU）采集到的信号，实际振荡波形的时域特征十分复杂，部分频率振荡发生在水轮机调速器死区附近。以阿海电厂、糯扎渡电厂、小湾电厂为例，不同时段振荡波形有以下时域特征。

如图1(a)所示，在进行电厂功率向上、向下调节实验时，系统频率分别在50.05 Hz和49.95 Hz附近振荡。从图1(b)可知，20：10—20：15，频率在50.05 Hz附近振荡；20：15—20：25，在电厂功率继续上调节，频率运行点离开死区附近时，振荡消失；20：25—20：30，频率回到死区附近，振荡重新出现。由图1(c)可知，在进行直流功率调节实验时，21：25系统频率先在49.95 Hz附近振荡，随后振荡加剧，发展为在49.9 Hz和50.1 Hz之间振荡。

图1 不同发电厂的频率

Fig.1 Frequencies of different power plants

如果将系统用统一的线性化模型描述，不能解释图1中多次出现的频率偏差在调速器死区附近的振荡，特别是对于图1(b)，当频率偏移死区后，振荡消失，说明死区外系统为正阻尼。对于图1(c)，当频率偏移死区后振荡持续，说明死区外系统为负阻尼，依靠频率限制器（frequency limit controller，FLC）（死区设置±0.1 Hz）的限幅作用才未进一步发散。

死区环节的存在，使得系统呈现非线性，对调速器死区建模对于准确分析频率振荡问题至关重要。在云南电网中所有调速器均存在人为设置的死区，振荡发生时，部分机组为追求调节的快速性采用了增强型死区。在下文的研究中，发现增强型调速器死区的性质以及系统阻尼，是导致在云南电网频率振荡的主要因素。

2 分段线性系统模型

在电力系统中稳定性问题通常不是单一出现的，为了研究问题方便，本文忽略功角和电压的动态问题，主要针对频率稳定开展分析。

2.1　频率稳定分析简化模型

发电机运动的状态空间方程可以描述为：

$T_{J i} \frac{d ω_{i}}{d t} = P_{m i}^{} - P_{e i}^{} - D_{i}^{} ω_{i} i = 1,2, \dots, n$

(1)

式中： n为发电机的数量； $T_{J i}$ ， $ω_{i}$ ， $P_{m i}$ ， $P_{e i}$ ， $D_{i}^{}$ 分别为第 i台发电机的转动惯量、转速、机械功率、电磁功率以及阻尼系数。

在研究系统频率问题时，假设不同的发电机在动态过程中的频率相同，即

$ω_{1} = ω_{2} = \dots = ω_{i} = ω$

(2)

则所有的摇摆方程求和为：

$\overset{n}{\sum_{i = 1}} T_{J i}^{} \frac{d ω}{d t} = \overset{n}{\sum_{i = 1}} P_{m i}^{} - \overset{n}{\sum_{i = 1}} P_{e i}^{} - \overset{n}{\sum_{i = 1}} D_{i}^{} ω$

(3)

等式右边的第2个量为发电机电磁功率，稳态时与系统的总负荷相等，分别为交流和直流负荷：

$\overset{n}{\sum_{i = 1}} P_{e i}^{} = P_{A L} + \overset{m}{\sum_{j = 1}} P_{D L, j}^{}$

(4)

式中： $P_{D L, j}^{}$ 为第 j条直流线路上的直流负荷，一般为恒功率负荷； m为所有直流输电线路的数量； $P_{A L}$ 为交流系统负载和网络上传输的总损耗，使用简单的静态模型近似描述负荷和频率之间的关系，即

$P_{A L} = P_{A L 0} [1 + K_{f} (f - f_{r e f})]$

(5)

式中： $P_{A L 0}$ 为扰动前稳态时的交流有功功率； $K_{f} > 0$ ，表示交流负荷的单位调节功率； f为系统实际频率； f _ref为系统频率参考值。注意到，采用式(3)描述的模型成为一个纯频率稳定性分析的模型。

2.2　调速系统和原动机模型

电液伺服系统类型的比例-积分-微分（PID）调速器在现代电力系统水轮机上得到了广泛应用，典型控制框图如图2所示 ^[

19] 。图2中各参数下标 i表示第 i个机组；

$K_{W i}$ 为测量值的增益；

$K_{P 1, i}$ ，

$K_{I 1, i}$ ，

$K_{D 1, i}$ 和

$b_{P i}$ 分别为调速器比例、积分和微分系数和调差系数；

$K_{P 2, i}$ 为电液伺服系统的增益；

$T_{W i}$ 为原动机水锤效应时间常数；

$T_{1 i}$ ，

$T_{2 i}$ 和

$T_{O C, i}$ 为时间常数；

$Y_{G N, i}$ 为导叶开度；

$Y_{r e f, i}$ 为导叶开度参考值；

$x_{1 i}^{}$ ~

$x_{10 i}^{}$ 为广义状态变量。

图2 典型PID型调速系统框图

Fig.2 Block diagram of a typical PID governor system

其中PID调速器状态空间表达式计算如下：

$\{\begin{array}{l} K_{D 1, i}^{} \frac{d x_{2 i}^{}}{d t} - T_{1 i}^{} \frac{d x_{3 i}^{}}{d t} = x_{3 i}^{} \\ \frac{d x_{4 i}^{}}{d t} = K_{I 1, i}^{} (x_{2 i}^{} + b_{P i}^{} Y_{r e f, i}^{} - b_{P i}^{} x_{5 i}^{}) \\ 0 = x_{2 i}^{} - K_{W i}^{} x_{1 i}^{} \\ 0 = K_{P 1, i}^{} x_{2 i}^{} + x_{3 i}^{} + x_{4 i}^{} - x_{5 i}^{} \end{array}$

(6)

电液伺服系统状态空间表达式为：

$\{\begin{array}{l} T_{O C, i}^{} \frac{d x_{7 i}^{}}{d t} = K_{P 2, i}^{} x_{6 i}^{} \\ T_{2 i}^{} \frac{d x_{8 i}^{}}{d t} = x_{7 i}^{} - x_{8 i}^{} \\ 0 = x_{5 i}^{} - x_{6 i}^{} - x_{7 i}^{} \end{array}$

(7)

调速器死区存在2种模型，即普通型死区和增强型死区 ^[

20] ，模型区别见附录A。3月28日振荡发生时，云南电网主力水电机组如糯扎渡、小湾等均采用增强型调速器，比例在50%以上。本文主要考虑增强型死区的作用，增强型调速器死区的输入和输出关系为：

$x_{1 i}^{} = \{\begin{array}{l} f_{r e f} - f & \begin{matrix} |f_{r e f} - f| \geq f_{D Z, i}^{} \end{matrix} \\ 0 & \begin{matrix} | f_{r e f} - f | < f_{D Z, i}^{} \end{matrix} \end{array}$

(8)

式中： $f_{D Z, i}$ 为第 i个调速器的频率死区。

在固定水头、固定工况下，原动机模型的状态空间表达式为：

$T_{W i}^{} \frac{d x_{8 i}^{}}{d t} + 0.5 T_{W i}^{} \frac{d x_{9 i}^{}}{d t} = x_{8 i}^{} - x_{9 i}^{}$

(9)

水锤效应时间常数 T _W _i 随发电机工况变化，满载时 T _W _i 范围为0.5~4.0 s ^[

21] 。

2.3　全系统动态模型

为了简化分析，假设系统中所有调速器的死区相同，即

$f_{D Z, 1}^{} = f_{D Z, 2}^{} = \dots = f_{D Z, i}^{} = f_{D Z}$

(10)

联立式（3）、式(6)至式(9)，即可得到整个分段线性系统的频率稳定分析模型，具体推导过程见附录B。式（11）将整个系统的频率分析模型描述为分段线性微分方程组。

$T \frac{d x}{d t} = \{\begin{matrix} J_{0} x + b_{0} & \begin{matrix} |f_{r e f} - f| < f_{D Z} \end{matrix} \\ J_{1} x + b_{1} & \begin{matrix} |f_{r e f} - f| \geq f_{D Z} \end{matrix} \end{matrix}$

(11)

式中： x 为广义状态变量，包含 $f$ ， $x_{1 i}^{}$ ~ $x_{10 i}^{}$ ， $Y_{G N, i}^{}$ ， $P_{e i}^{}$ ， $P_{m i}^{}$ （ $i = 1,2, \dots, m$ ）； $T$ ， $J_{0}$ 和 $J_{1}$ 为相应的系数矩阵； $b_{0}$ 和 $b_{1}$ 为相关向量。

式（11）所描述的分段线性模型如图3所示。进一步地，当系统中有不同控制器参与时，该模型需要用一个包含更多频率区段的分段线性系统来描述。

图3 分段线性控制示意图

Fig.3 Schematic diagram of piecewise linear control

3 稳态分析

如果一个系统是渐近稳定的，则必然存在平衡点，这个平衡点可以通过设置 $T \dot{x} = 0$ 得到。则由式(6)、式（7）、式（9）可得平衡状态下满足：

$x_{9 i}^{} = P_{m i}^{} = Y_{r e f, i}^{} + \frac{K_{W i}^{} x_{1 i}^{}}{b_{P i}^{}}$

(12)

结合式(8)和式(12)可以列写成针对增强型死区的调速器方程如下：

$P_{m i}^{} = \{\begin{array}{l} Y_{r e f, i}^{} + \frac{K_{W i}^{} (f_{r e f} - f)}{b_{P i}^{}} & \begin{matrix} | f - f_{r e f} | \geq f_{D Z} \end{matrix} \\ Y_{r e f, i}^{} & \begin{matrix} | f - f_{r e f} | < f_{D Z} \end{matrix} \end{array}$

(13)

而从式(3)可得，在稳定状态时有：

$\begin{array}{l} \overset{n}{\sum_{i = 1}} P_{m i}^{} = (\overset{n}{\sum_{i = 1}} D_{i}^{} + P_{A L 0} K_{f}) f + \overset{m}{\sum_{j = 1}} P_{D L, i}^{} + \\ P_{A L 0} - P_{A L 0} K_{f} f_{r e f} \end{array}$

(14)

考虑到式(13)的等号两边都是 f的函数，令

$ψ (f) = \overset{n}{\sum_{i = 1}} P_{m i}^{}$

(15)

而式(14)右侧同样为 $f$ 的函数，令

$\begin{array}{l} φ (f) = (\overset{n}{\sum_{i = 1}} D_{i}^{} + P_{A L 0} K_{f}) f + \overset{m}{\sum_{j = 1}} P_{D L, j}^{} + \\ P_{A L 0} - P_{A L 0} K_{f} f_{r e f} \end{array}$

(16)

则在频率的平衡点 $f_{0}$ 需要满足：

$φ (f_{0}) = ψ (f_{0})$

(17)

显然，函数 $φ (f)$ 对 $f$ 是连续的。然而当系统中存在增强型调速器时，由于式(13)对 $f$ 是不连续的，所以函数 $ψ (f)$ 对 $f$ 也是不连续的，如图4所示。

图4 有增强型调速器时的系统稳态频率响应

Fig.4 Steady-state frequency response of system with step-response governor

在系统中交流负荷 $P_{A L 0}$ 在不断变化，假设自动发电控制（AGC）系统没有响应负载的变化，那么每个发电机导叶开度 $Y_{r e f, i}$ 是恒定的。当 $P_{A L 0}$ 增加时， $φ (f)$ 相应也会增加。从图4中可知，当 $P_{A L 0}$ 从 $P_{A L 0,1}$ 增至 $P_{A L 0,4}$ 时， $φ (f)$ 也相应从 $φ_{1} (f)$ 移至 $φ_{4} (f)$ 。由于 $ψ (f)$ 不是连续的，部分运行工况下存在2条线不相交，即系统没有平衡点的情况，如图中的 $φ_{3} (f)$ 和 $ψ (f)$ 不会相交，此时系统不存在平衡点。

4 动态行为分析

4.1　频率平衡点不存在的动态行为

增强型调速器死区的特性导致了响应的不连续性，当 $φ (f)$ 表现为 $φ_{3} (f)$ 时，假设系统能够稳定运行于 D点，频率分段模型可以描述为：

$T \frac{d x}{d t} = J_{1} x + b_{1} f \leq f_{r e f} - f_{D Z}$

(18)

此时系统运行点为 $x_{D} = - J_{1}^{- 1} b_{1}$ 。然而 $x_{D}$ 对应的频率 $f_{D} > f_{r e f} - f_{D Z}$ ，不在式(18)中的频率区间内，系统不能稳定运行于 D点，此时负荷大于发电机出力，频率降低 ^[

22] ，运行点将沿

$φ_{3} (f)$ 向 C点移动。

同理，假设系统能够稳定运行于 C点，频率的分段模型可以描述为：

$T \frac{d x}{d t} = J_{0} x + b_{0} f_{r e f} - f_{D Z} < f < f_{r e f} + f_{D Z}$

(19)

此时系统运行点为 $x_{C} = - J_{0}^{- 1} b_{0}$ 。然而， $x_{C}$ 对应的频率 $f_{C} < f_{r e f} - f_{D Z}$ ，不在式(19)中的频率区间内，系统不能稳定运行于 C点，此时发电机出力大于负荷，频率上升，运行点将沿 $φ_{3} (f)$ 向 D点移动。

因此，频率 $f$ < $f_{r e f} - f_{D Z}$ 时，频率 $f$ 会移动至 $f_{D}$ 处，使 $f_{D} > f_{r e f} - f_{D Z}$ ；当频率 $f_{D} > f_{r e f} - f_{D Z}$ 时，系统的作用会使频率降低，回到 $f_{C}$ 处，从而导致系统频率在 $f_{r e f} - f_{D Z}$ 处振荡，即增强型死区可能导致系统在各频率区间内不存在平衡点。

4.2　频率平衡点不存在的物理原因

当系统频率面临较大的扰动时，由于增强型调速器在某些频段内是不连续的，这将导致调速器的控制信号存在阶跃。例如，假设增强型调速器的状态 $x_{2 i}^{}$ 在 $t_{0}$ 时刻和 $t_{0^{+}}$ 时刻分别为0和 $K_{W i} f_{D Z}$ ，可以从式(6)中的第1个方程得到：

$\frac{d (K_{D 1, i}^{} x_{2 i}^{} - T_{1 i}^{} x_{3 i}^{})}{d t} = x_{3 i}^{}$

(20)

因此

$\begin{array}{l} K_{D 1, i}^{} x_{2 i}^{} (t_{0^{+}}) - T_{1 i}^{} x_{3 i}^{} (t_{0^{+}}) - K_{D 1, i}^{} x_{2 i}^{} (t_{0}) + \\ T_{1 i}^{} x_{3 i}^{} (t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t_{0^{+}}} x_{3 i}^{} (t) d t \end{array}$

(21)

由于 $x_{3 i}^{}$ 不能无限大，有

$K_{D 1, i}^{} x_{2 i}^{} (t_{0^{+}}) - T_{1 i}^{} x_{3 i}^{} (t_{0^{+}}) - K_{D 1, i}^{} x_{2 i}^{} (t_{0}) + T_{1 i}^{} x_{3 i}^{} (t_{0}) = 0$

(22)

即

$\begin{matrix} x_{3 i}^{} (t_{0^{+}}) = x_{3 i}^{} (t_{0}) + \frac{K_{D 1, i}^{} x_{2 i}^{} (t_{0^{+}}) - K_{D 1, i}^{} x_{2 i}^{} (t_{0})}{T_{1 i}^{}} = \\ x_{3 i}^{} (t_{0}) + \frac{K_{D 1, i}^{} K_{W i} f_{D Z}}{T_{1 i}^{}} \end{matrix}$

(23)

对于增强型调速器， $x_{3 i}^{}$ 是不连续的，这将导致导叶开启的控制信号 $Y_{G N, i}^{}$ 存在冲击。因此，很难判断系统状态是否能过渡到平衡点，即使式(11)所描述的线性系统是稳定的。

4.3　平衡点存在时的小干扰稳定性

如上文所述，频率稳定分析模型可以用式(11)的分段线性系统表示。当存在平衡点时，如图4中的 A， B和 E点，其小干扰稳定性由相应频率区间的线性系统特征值决定。例如，当系统在图4的平衡点 A上运行时，本地频率特性由下式决定：

$T \frac{d x}{d t} = J_{1} x + b_{1}$

(24)

上式可以进一步写成：

$T \frac{d (x - x_{A})}{d t} = J_{1} (x - x_{A})$

(25)

式中： $x_{A} = - J_{1}^{- 1} b_{1}$ 为平衡点。

式(25)表示的系统是一个线性系统，因此，当矩阵束 $(J_{1}, T)$ 的所有广义特征值都为负实部时，系统稳定。

5 云南电网频率振荡的仿真分析及解释

5.1　增强型死区对频率稳定性的影响分析

考虑增强型死区的作用，设计一个简化的测试系统（系统结构见附录C），包括3个原动机，系统的一部分参数如表1所示。其他参数如下： $\overset{3}{\sum_{i = 1}} T_{J i} = 21$ ， $\overset{3}{\sum_{i = 1}} D_{i} = 0.06$ ， $\overset{m}{\sum_{j = 1}} P_{D L, j}^{} = 1.5$ ， $P_{A L 0} = 1.5$ ， $K_{f} = 1.0$ 和 $f_{r e f} = 1$ 。对所有的调速器： $K_{W i} = 1.25$ ， $T_{1 i} = 0.2$ ， $T_{2 i} = 0.2$ ， $b_{P i} = 0.04$ 。

表1 测试系统的相关参数

Table 1 Relevant parameters of testing system

$i$	$K_{P 1, i}^{}$	$K_{D 1, i}^{}$	$K_{I 1, i}^{}$	$K_{P 2, i}^{}$	$T_{O C, i}^{}$	$T_{W i}^{}$	$Y_{r e f, i}^{}$	$f_{D Z, i}^{}$
1	3.0	5	1.1	8	11.55	1.6	1.00	0.001
2	3.0	4	1.2	15	18.00	1.8	1.00	0.001
3	2.9	4	1.3	13	15.00	2.2	1.06	0.001

调速器、原动机和发电机的参数来自实际系统，直流和交流负荷各占50%。另外，一台机组采用增强型调速器，其余均采用普通型调速器，死区设为0.05 Hz。用3个线性系统来建立模型，每个线性系统均稳定。

假设调速器的导叶开度参考值不变，即 $Y_{r e f, i}^{}$ 保持不变。当交流负载发生变化时，系统频率相应变化。表2列出了交流负载和相应的稳态频率。可知当 $P_{A L 0}$ 在1.438 5~1.498 4和1.501 6~1.561 6（标幺值）范围内时，不存在平衡点。

表2 交流负载和相应的频率

Table 2 AC loads and corresponding frequencies

$P_{A L 0}$	$f$ /Hz
$\leq 1.438 5$	$\geq 50.05$
$1.498 4 ~ 1.501 6$	$49.95 ~ 50.05$
$\geq 1.561 6$	$\leq 49.95$

图5所示为交流负荷变化时的频率响应，在仿真中， $P_{A L 0}$ 在100 s内线性改变至目标值，不同扰动下系统的频率响应存在明显差异。

图5 有无平衡点时频率响应的仿真结果

Fig.5 Simulation results of frequency response with or without equilibrium point

当 $P_{A L 0}$ 降低0.001 5（标幺值）时，平衡点存在，线性系统稳定，系统频率稳定在死区内；当 $P_{A L 0}$ 增加0.01（标幺值）时，平衡点不存在，频率偏差在死区附近振荡；进一步增大扰动，在 $P_{A L 0}$ 降低0.1（标幺值）后，系统频率偏差会穿越死区，由于死区外的线性系统是稳定的，在该扰动下系统频率能够过渡到新的平衡点，即频率接近50.05 Hz时振荡，超越50.05 Hz时逐渐稳定于死区外。与表2所示稳态分析结果一致。

5.2　系统阻尼对频率稳定性的影响

以上分析以各频率区间的线性系统稳定为前提，死区外部阻尼比为0.05，若线性系统不稳定，即存在 s平面右半部的特征根，则系统的动态过程将为发散振荡或单调发散形式 ^[

2] 。本文通过更改水轮机参数

$T_{W 3}^{}$ 来模拟死区外部阻尼特性的变化。

在第5 min开始的50 s内，将 $P_{A L 0}$ 设置为线性增长0.01（标幺值），在第14 min， $T_{W 3}^{}$ 提高至2.6来模拟死区外部阻尼特性的变化。计算后发现，当 $P_{A L 0}$ 增加0.01（标幺值）时，平衡点不存在；当 $T_{W 3}^{}$ 提高至2.6时，死区外阻尼比为-0.01，系统不稳定。如图6所示，当死区外部呈负阻尼时，系统振荡发散（仿真输出设定频率限幅49.9~50.1 Hz以表示直流FLC动作）。

图6 系统阻尼特性改变时的频率振荡波形

Fig.6 Frequency oscillation waveform when system damping changes

5.3　云南电网振荡现象分析

根据4.1节与5.1节的分析可判断，图1(a)所示在50.05 Hz附近的频率振荡是由于系统采用了增强型死区，系统频率在死区附近没有平衡点而引发的振荡。图1(b)中现象则是由于频率偏差穿越死区引起的，频率穿越死区后进入的线性系统是稳定的，偏离死区后逐渐稳定。图1(c)中首先在49.95 Hz附近的振荡是频率穿越死区引起的。根据4.2节的分析可知，随着运行条件的改变，频率穿越死区后进入的线性系统是不稳定的，调速器相关的负阻尼振荡模式被激发，从而引发较为严重的发散振荡；由于受直流频率限制器抑制（死区为±0.1 Hz），最终形成周期为20 s左右、振幅为±0.1 Hz的频率振荡。因此图1（c）中所示频率振荡是增强型死区和调速器不稳定共同作用的结果。

本文的结论在大系统仿真中同样可以复现。2016年3月28日不同时刻，系统外送功率、本地负荷水平、机组出力相差较大，其阻尼水平也有所不同。分别调整系统运行方式以模拟图1(b)和图 1(c)实际运行工况。

在大系统设置扰动为下调楚穗直流功率并进行时域仿真。对于图1(b)的运行工况，系统频率模式振荡阻尼比为0.202，振荡频率为0.062 Hz，在扰动发生后，云南电网频率在死区附近往复振荡，与简化系统仿真结果一致。对于图1(c)的运行工况，系统频率模式振荡阻尼比为-0.124，振荡频率为 0.071 Hz，在扰动发生后，云南电网频率振荡发散，由于直流FLC的限制作用，频率在49.9~50.1 Hz的范围内等幅振荡，大系统仿真图见附录D。

6 结语

本文基于分段线性系统模型研究了云南异步联网试验中的频率振荡现象。研究结果表明，增强型死区导致了状态变量的不连续，在某些情况下会引起系统频率在死区附近不存在平衡点，频率在死区附近往复振荡；同时分段线性化系统的稳定性由各频率区间对应的线性系统特征值决定，系统的负阻尼效应也会导致频率失稳。

整个系统的阻尼水平是由系统中所有机组和负荷共同决定的。在超低频段，火电机组单机呈现正阻尼，水电机组在采用并大网参数时基本为负阻尼。云南电网与主网交流联网方式下，主网中火电机组比例高，且主网负荷较大，能提供较强的正阻尼，故系统频率稳定性较高。在异步运行后，云南电网形成了大规模直流送出的高比例水电系统，一方面由于云南电网直流外送容量约为省内负荷的1.5倍，导致负荷提供的阻尼大幅减小；另一方面水电机组发电占比达90%，且缺少火电补偿，以上2点使得云南电网的稳定裕度降低，容易引起频率失稳。异步联网后为了避免频率振荡，不仅要取消调速器增强型死区，而且要在兼顾调速性能的基础上对调速器参数进行优化，提高系统的阻尼特性。

此外，在实际系统中频率由多种控制器协调控制，在不同频率偏差内参与频率调节的控制器均不相同，较大的扰动往往使频率偏差穿越多个线性区域，分段线性系统在切换过程中的稳定性和时域特征需要进一步的研究。

附录

附录A 调速器2种死区模型对比

调速器存在两种死区模型，即普通型调速器死区和增强型调速器死区模型 ^{错误!未找到引用源。} ，图1显示了两个死区的逻辑关系图。

图A1 普通型调速器和增强型调速器的死区

Fig.A1 Dead band of no-step response and step response

普通型调速器死区表示如下：

$x_{1 i}^{} = \{\begin{matrix} f_{r e f} - f - f_{D Z i}^{} & f_{r e f} - f \geq f_{D Z i}^{} \\ 0 & | f_{r e f} - f | \leq f_{D Z i}^{} \\ f_{r e f} - f + f_{D Z i}^{} & f_{r e f} - f \leq - f_{D Z i}^{} \end{matrix}$

(A1)

增强型调速器死区的输入和输出关系为：

$x_{1 i}^{} = \{\begin{matrix} f_{r e f} - f & |f_{r e f} - f| \geq f_{D Z i}^{} \\ 0 & | f_{r e f} - f | < f_{D Z i}^{} \end{matrix}$

(A2)

式中： $f_{D Z} > 0$ 表示频率偏移的死区。可见，2种模型在死区内的响应是一致的，而死区外增强型死区相当于输入信号增加了 $f_{D Z i}^{}$ 。

附录B 全系统分段线性系统建模

（1）频率波动没有超出调速器死区，即： $|f_{r e f} - f| < f_{D Z i}^{}$

此时 $x_{1} = 0$ ，忽略火电机组的作用，只有交流负荷参与频率调整，系统的线性微分方程为：

$T_{0} \frac{d x}{d t} = J_{0} x + b_{0}$

(B1)

式中： $T_{0} = T_{J}$ ， $J_{0} = - K_{D}$ ， $b_{0} = P_{m} - P_{e}$ ， $x = x_{10}$ 。

（2）频率波动超出调速器死区，即： $|f_{r e f} - f| \geq f_{D Z i}^{}$

此时， $x_{1} = f_{r e f} - x_{10}$ ，水电机组与交流负荷共同参与调频，根据正文中的图3分别列写各模型的状态方程：

1 ） PID调速器

$\begin{matrix} K_{D 1, i}^{} \frac{d x_{2 i}^{}}{d t} - T_{1 i}^{} \frac{d x_{3 i}^{}}{d t} = x_{5 i}^{} - K_{P 1, i}^{} x_{2 i}^{} - x_{4 i}^{} \\ \frac{d x_{4 i}^{}}{d t} = K_{I 1, i}^{} (K_{W i}^{} x_{1 i}^{} + b_{P i}^{} Y_{r e f i}^{} - b_{P i}^{} x_{5 i}^{}) \end{matrix}$

(B2)

2 ）电液伺服系统

$\begin{matrix} T_{2 i}^{} \frac{d x_{7 i}^{}}{d t} = x_{8 i}^{} + x_{6 i}^{} - x_{5 i}^{} \\ T_{O C, i}^{} \frac{d x_{8 i}^{}}{d t} = K_{P 2, i}^{} x_{6 i}^{} \end{matrix}$

(B3)

3 ）水轮机

$T_{W i}^{} \frac{d x_{8 i}^{}}{d t} + 0.5 T_{W i}^{} \frac{d x_{9 i}^{}}{d t} = x_{8 i}^{} - x_{9 i}^{}$

(B4)

4 ）发电机

$T_{J i} \frac{d x_{10 i}}{d t} = - K_{D i} x_{10 i} + (x_{9 i} - P_{e i})$

(B5)

5 ）形成整个系统的状态方程

全系统在稳态值附近线性化后的状态方程为：

$T_{1} \frac{d x}{d t} = J_{1} x + b_{1}$

(B6)

其中，系数矩阵 $T_{1}$ 为：

$T_{1} = [\begin{matrix} 0 \\ K_{D 1, i}^{} & - T_{1 i}^{} \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ T_{2 i}^{} \\ T_{O C, i}^{} \\ T_{W i}^{} & 0.5 T_{W i}^{} \\ T_{J} \end{matrix}]$

(B7)

Jacobian矩阵 $J_{1}$ 表达式为：

$J_{1} = [\begin{matrix} 0 \\ - K_{P 1 i}^{} & 0 & - 1 & 1 \\ 0 \\ K_{I i}^{} K_{W i}^{} & 0 & - K_{I i}^{} b_{P i}^{} \\ 0 \\ 0 \\ - 1 & 1 & 1 \\ K_{P 2 i}^{} & 0 \\ 1 & - 1 \\ 1 & - D_{i} \end{matrix}]$

(B8)

附录C 简化测试系统结构

图C1 一个简化的测试系统

Fig.C1 A simplified testing system

附录D 大系统仿真复现振荡现象

图D1 增强型调速器导致频率在死区附近往复振荡

Fig.D1 Frequency oscillation caused by dead band of step response

图D2 阻尼不足导致振荡发散

Fig.D2 Oscillation divergence caused by Insufficient damping

参考文献

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紫金论电

MPCE

云南异步电网中频率振荡的分段线性模型分析方法

摘要

关键词

0 引言

1 异步试验中频率振荡的时域特征

2 分段线性系统模型

2.1　频率稳定分析简化模型

2.2　调速系统和原动机模型

2.3　全系统动态模型

3 稳态分析

4 动态行为分析

4.1　频率平衡点不存在的动态行为

4.2　频率平衡点不存在的物理原因

4.3　平衡点存在时的小干扰稳定性

5 云南电网频率振荡的仿真分析及解释

5.1　增强型死区对频率稳定性的影响分析

5.2　系统阻尼对频率稳定性的影响

5.3　云南电网振荡现象分析

6 结语

附录

附录A 调速器2种死区模型对比

附录B 全系统分段线性系统建模

附录C 简化测试系统结构

附录D 大系统仿真复现振荡现象

参考文献

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云南异步电网中频率振荡的分段线性模型分析方法

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1 异步试验中频率振荡的时域特征

2 分段线性系统模型

2.1 频率稳定分析简化模型

2.2 调速系统和原动机模型

2.3 全系统动态模型

3 稳态分析

4 动态行为分析

4.1 频率平衡点不存在的动态行为

4.2 频率平衡点不存在的物理原因

4.3 平衡点存在时的小干扰稳定性

5 云南电网频率振荡的仿真分析及解释

5.1 增强型死区对频率稳定性的影响分析

5.2 系统阻尼对频率稳定性的影响

5.3 云南电网振荡现象分析

6 结语

附录

附录A 调速器2种死区模型对比

附录B 全系统分段线性系统建模

附录C 简化测试系统结构

附录D 大系统仿真复现振荡现象

参 考 文 献

2.1　频率稳定分析简化模型

2.2　调速系统和原动机模型

2.3　全系统动态模型

4.1　频率平衡点不存在的动态行为

4.2　频率平衡点不存在的物理原因

4.3　平衡点存在时的小干扰稳定性

5.1　增强型死区对频率稳定性的影响分析

5.2　系统阻尼对频率稳定性的影响

5.3　云南电网振荡现象分析

参考文献