多能源网络的广义电路分析理论——（二）网络模型

杨经纬; 张宁; 康重庆; YANG Jingwei; ZHANG Ning; KANG Chongqing

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多能源网络的广义电路分析理论——（二）网络模型

- ORCID：
杨经纬 ^1,2
- ORCID：
张宁 ^1,2
- ORCID：
康重庆 ^1,2

1. 电力系统及发电设备控制和仿真国家重点实验室，清华大学，北京市 100084； 2. 清华大学电机与应用电子技术系,北京市 100084

最近更新：2020-05-15

DOI：10.7500/AEPS20200209002

目录contents

摘要

以电力、热力、燃气网络为代表的多能源网络是世界上最为复杂的物理网络之一，是连接能源生产和消费的重要传输环节，也是多能源系统耦合的重要途径。文中借鉴电力系统分析中“矩阵化”与“外端口等值”的思想，基于多能源网络支路层的广义电路模型，提出了网络层的广义电路分析理论。首先，针对多能源网络高维动态特性难以描述的问题，以支路广义电路模型为基础提出了拉普拉斯域通用多能源网络建模方法，并建立了矩阵化的紧凑模型。其次，提出了多能源网络的外端口等值方法，等效地将复杂的内部信息转换为等值的边界条件，既能解决多能源网络的联合分析难题，同时又很好地保护各能源系统数据信息隐私。最后，分别结合热力网络与燃气网络的实际特点，提出了热力网络与燃气网络的全网络广义电路模型与边界等值方法。

关键词

多能源系统; 广义电路; 能源互联网; 热力网络; 燃气网络; 电热耦合; 电气耦合

0 引言

多能源系统的全网络特性是各个支路传输特性的高维组合，建立多能源网络的传输特性模型与分析方法是多能源系统相关研究的重要理论任务，是支路层广义电路分析理论^[

1]的自然延伸与拓展。从电力系统的运行决策视角来看，燃气网络（下文简称气网）和热力网络（下文简称热网）等多能源系统网络增加了电力系统的实际决策约束，但其慢动态特性也提供了额外的灵活性资源。通过多能源系统网络模型理解电力系统决策的真实边界，感知电力系统内部决策对于外部能源系统的影响至关重要。

然而，多能源网络特性的表征面临2个难题。一方面，多能源网络包含诸多支路与节点，每一条支路和每一个节点都需要复杂的偏微分方程描述传输特性，缺乏代数矩阵描述的标准化网络方程，不便于计算机建模实现；另一方面，仅建立全网络动态特性模型仍难以满足多能源系统协同决策的要求。目前，世界各国的电力、热力、燃气系统多为分立决策而非全局优化，由支路模型构成的多能源系统全网络模型包含各个能源系统的具体参数和详细信息，其他系统的决策主体难以获得；即使能够掌握也将大大增加计算量，不利于实际的运行优化决策。因此，建立能够考虑动态特性的多能源网络等值端口模型，将复杂的内部信息转换为等值的边界条件，可以为多能源系统协同优化奠定网络传输动态特性部分的描述基础，可以为多能源协同决策增加类似于电力系统转移分布因子的实际工具，具有重要的理论价值与现实意义。

目前学者对于多能源网络分析建模的研究主要集中于能量流的计算。在热网模型方面，文献[

2,3]建立了稳态热网方程，考虑了热网损耗但忽略了热网传输时延。文献[4,5]提出了有限元法（element method），考虑热网动态特性，即将偏微分方程时空离散化为代数方程组，结合相应的边界条件、初值条件，采用高斯-赛德尔迭代等方法直接求解代数方程组获得热力流的动态传输过程。文献[6,7]则提出了单元表征法（node method）描述热力流动态特性，将热力流空间离散为若干互相独立的“水包”，利用管道入口水包序列的温度组合表征管道出口的温度。值得注意的是，有限元法和单元表征法中的支路模型均较为复杂，难以形成代数矩阵化描述的标准化网络方程。在气网模型方面，文献[8,9]提出了稳态气网模型的核心方程，但忽略了气网中燃气流传输的动态特性。文献[10,11]研究了燃气流的暂态特性，并利用空间和时间有限元离散化的方法将偏微分方程转化为代数方程组进行分析；文献[12]研究了燃气流动态传输过程带来的储气效益（line-pack），将燃气管道的储气量作为独立变量进行建模。同样的，对于燃气动态特性的研究多聚焦于偏微分方程差分化得到的支路方程，缺乏矩阵化描述的标准网络方程。

此外，部分学者研究了热网与气网的网络简化分析方法。文献[

13]基于单元表征法提出了一种降低网络拓扑复杂度的热网简化方法，将原始复杂网络简化为树状简单支路，简化热网的分析过程。文献[14]采用变换的思想将辐射状热网变换为星形热网，从而可以直接得到热力系统的源-荷函数关系,并结合热力负荷惯性提出了热网的惯性模型。文献[15]提出了一种线性敏感因子矩阵的计算方法，该矩阵可表征稳态下气网节点气压和流量注入的关系。文献[16,17]则研究了燃气管道的动态特性表征，针对状态转移方程进行简化，提出了燃气管道的近似状态转移方程与气网的二端口模型。然而，该方法处理传递函数涉及空间和时间离散化，难以使用显式的数学公式表示气网的边界等值信息。文献[18,19]提出了气网与热网的动态特性建模与等值方法，但尚未从统一建模的高度进行分析和抽象。

本文作为多能源网络的广义电路分析理论姐妹篇中的第2篇，基于支路层拉普拉斯域集中参数广义电路模型^[

1]，进一步提出了网络层的广义电路分析理论。这里“广义”有2层含义：①“模型”方面的广义，指多能源网络并非实际电路网络，但能够比拟复杂电路网络，转化为广义电路网络开展分析；②“方法论”方面的广义，指该理论借鉴类比了电力网络（下文简称电网）的特有分析方法，例如矩阵化表征和外端口等值等方法，将电网分析理论拓展到多能源网络分析领域。本文首先就第一、二类边界条件下的多能源网络全网络动态特性建模与等值方式进行了分析，分别提出了基于矩阵表示的热网与气网的全网络广义电路模型并解析化地给出了边界等值方程。

1 基于矩阵的多能源网络广义电路建模

1.1　第一类边界条件

在第一类边界条件下，支路方程可以等效为 $π$ 形等值电路，其支路方程为：

$ζ_{1} (s) = ζ_{b} (s) + ψ_{1} (s) y_{s}$

（1）

$ζ_{2} (s) = ζ_{b} (s) - ψ_{2} (s) y_{s}$

（2）

$ζ_{b} (s) = y_{b} (ψ_{1} (s) - ψ_{2} (s))$

（3）

式中： $ζ_{1} (s) 和 ζ_{2} (s)$ 分别为 $π$ 形等值电路首端与末端的广延量； $ψ_{1} (s)$ 和 $ψ_{2} (s)$ 分别为线路首端和末端的强度量值； $ζ_{b} (s)$ 为支路广延量； $y_{s}$ 为支路的单侧接地导纳； $y_{b}$ 为支路导纳。

对于此类 $π$ 形电路组成的网络，不妨设节点数为 $N$ ，支路数为 $M$ ，节点 $i$ 的接地导纳为 $y_{s, i}$ ，支路i-j的导纳为 $y_{b, i j}$ 。其中节点的接地导纳是与该节点相连支路的单侧接地导纳之和，支路导纳是支路阻抗的倒数。为了方便后续矩阵描述,令向量 $y_{s} = (y_{s, i})_{N \times 1}, y_{b} = (y_{b, i j})_{M \times 1}$ 分别表示所有节点的接地导纳和所有支路的支路导纳；令 $ζ_{b} = (ζ_{b, i j})_{M \times 1}$ 表示支路广延量向量； $ζ = (ζ_{i})_{N \times 1}, ψ = (ψ_{i})_{N \times 1}$ 分别表示节点广延量注入量和强度量向量。

本文使用节点-支路关联矩阵来表示此类复杂网络的拓扑结构，关联矩阵 $A = (A_{i j})_{N \times M}$ 的定义如下。

$A_{i j} = \{\begin{array}{l} 1 & 支路的起始节点是 i \\ - 1 & 支路的终端节点是 i \\ 0 & 支路与节点无关联 \end{array}$

（4）

基于关联矩阵，多能源系统网络的节点平衡方程如式(5)所示，即节点广延量注入值等于相连支路的广延量与该节点接地支路广延量之和，其中，符号“ $\cdot$ ”表示向量的哈达玛积（Hadamard product）。

$A ζ_{b} (s) + ψ (s) \cdot y_{s} = ζ (s)$

（5）

式中： $y_{s} = (y_{v})_{|V| \times 1}$ 为气网节点v的等效接地导纳。

支路特性方程同样可以写成矩阵形式，即

$y_{b} \cdot A^{T} ψ (s) = ζ_{b} (s)$

（6）

式中： $y_{b} = (y_{e})_{|E| \times 1}$ 为气网支路e的等效导纳。

合并式（5）和式（6）可得：

$A y_{b} \cdot A^{T} ψ (s) + ψ (s) \cdot y_{s} = ζ (s)$

（7）

令

$Y = A d i a g (y_{b}) A^{T} + d i a g (y_{s})$

（8）

则式(7)可以写为：

$Y ψ (s) = ζ (s)$

（9）

其中， $Y$ 为 $N \times N$ 矩阵，拥有与电力系统节点导纳矩阵相同的结构，其中第i行第j列的元素为 $y_{s, i} + \sum_{j \neq i} y_{b, i j}$ ，第i行第j( $j \neq i$ )列的元素为 $- y_{b, i j}$ ，具体结构见附录A式(A1)。不同之处在于，矩阵Y的元素含有拉普拉斯算子s，电力系统节点导纳矩阵的元素为复数常数。为了便于描述，后文将统一称Y为能源网络的节点导纳矩阵。

式（9）即为第一类边界条件下多能源系统全网络的广义电路模型，描述了整个网络中各个节点强度量与节点注入广延量的关系，反映了多能源网络的动态传输特性。由于方程是拉普拉斯域中的模型，因此求解后需要做拉普拉斯反变换，将其转化为时域中的结果使用，即

$L^{- 1} (Y ψ (s)) = L^{- 1} (ζ (s))$

（10）

式中： $L^{- 1}$ (⋅)为拉普拉斯反变换算子。

1.2　第二类边界条件

在第二类边界条件下，支路方程可以等效为有损时延电路（阻抗匹配情形）。在这种情况下，支路的末端广延量和强度量均为始端变量与损耗项、时延项的函数。与第一类边界条件下的模型不同，第二类边界条件下的支路末端强度量仅为关于首端强度量的函数，因此在多条支路末端的交汇节点强度量会发生改变，即每条支路末端相异的强度量变为交汇节点唯一的强度量，这一点使得基于强度量的建模比较困难。但是注意到第二类边界条件下强度量与广延量有严格的数学函数关系，而广延量仅须满足支路特性方程和节点平衡方程，在支路相交处不会发生突变，因此可取广延量作为模型变量对全网络进行建模。此外，第二类边界条件下支路首末端广延量的关系与广延量传输方向直接相关，因此需要在建模时考虑根据每一条支路广延量的传输方向。

根据网络结构和支路广延量传输方向定义有向图 $G = (V, E)$ ，其中V为节点集合，E为支路集合。由于第二类边界条件下广延量的时延和损耗与传输方向直接关联，因此定义支路始端广延量向量为 $ζ_{e}^{i n}$ ,末端广延量向量为 $ζ_{e}^{o u t}$ ，节点注入的广延量为 $ζ$ 。定义 $Ω_{v}^{+} 和 Ω_{v}^{-}$ 分别表示从节点 $v \in V$ 流出和流入的支路集合。根据广延量流出/流入节点的关系定义节点-支路关联矩阵 $A^{+} = (a_{v e}^{+})_{|V| \times |E|}$ 和 $A^{-} = (a_{v e}^{-})_{|V| \times |E|}$ ，其元素分别为：

$a_{v e}^{+} = \{\begin{array}{l} 1 \begin{matrix} \end{matrix} e \in Ω_{v}^{+} \\ 0 \begin{matrix} \end{matrix} 其他 \end{array}$

（11）

$a_{v e}^{-} = \{\begin{array}{l} 1 \begin{matrix} \end{matrix} e \in Ω_{v}^{-} \\ 0 \begin{matrix} \end{matrix} 其他 \end{array}$

（12）

定义支路特性矩阵 $Z$ 表征支路始端、终端广延量的关系如式（14）所示。其中系数 $z_{e}$ 表示每一条支路损耗和时延的拉普拉斯算子 $s$ 的常数。

$Z = d i a g ((z_{e})_{| E | \times | E |}) \begin{matrix} \end{matrix} \forall e \in E$

（13）

定义广延量分布系数矩阵 $D$ 如式（14）所示。其中系数 $d_{e} (0 \leq d_{e} \leq 1)$ 表示支路 $e$ 的始端广延量占同节点流出的总广延量之比。

$D = d i a g ((d_{e})_{| E | \times | E |}) \begin{matrix} \end{matrix} \forall e \in E$

（14）

基于支路特性矩阵，支路始末端的广延量关系可表示为：

$ζ_{e}^{o u t} (s) = Z ζ_{e}^{i n} (s)$

（15）

节点平衡方程可以表示为：

$ζ_{e}^{i n} (s) = D (A^{+})^{T} (A^{-} ζ_{e}^{o u t} (s) + ζ (s))$

（16）

将式（15）代入式（16），用 $ζ_{e}^{o u t}$ 代替 $ζ_{e}^{i n}$ 可得：

$ζ_{e}^{o u t} (s) = Y ζ (s)$

（17）

其中

$Y = (Z^{- 1} - D (A^{+})^{T} A^{-})^{- 1} D (A^{+})^{T}$

（18）

式(17)即为第二类边界条件的多能源系统全网络动态特性方程。由于方程是拉普拉斯域中的模型，因此求解后需要做拉普拉斯反变换，将其转化为时域中的结果使用，即

$L^{- 1} (ζ_{e}^{o u t} (s)) = L^{- 1} (Y ζ (s))$

（19）

需要强调的是，本章仅研究了统一数学方程下单层网络的建模，实际多能源网络的建模与各个系统网络特点相关，后文将具体阐述。

2 全网络广义电路模型的边界等值方法

根据网络节点的重要性与物理属性划分，全网络模型可以降维至仅包含关键节点的边界等值模型。本文将系统节点分为2类。

1）关键边界节点集合 $B$ 。此类节点的广延量和强度量变化对该系统或与之耦合的其他系统较为关键，例如电力系统中连接联络线的母线、气网中燃气机组所在节点等。

2）非关键节点集合I。此类节点为除关键边界节点以外的系统节点，可结合具体系统特性和应用需求进一步划分。例如根据是否与关键节点相连划分，或强度量/广延量是否恒定划分等。

根据关键边界节点与非关键内部节点的划分，全网络广义电路模型方程式（9）与式（17）中的矩阵 $Y$ 可相应地进行分块，然后利用矩阵运算、高斯消元等方法生成仅包含关键边界节点的全网络广义电路模型的边界等值方程。

2.1　第一类边界条件下的边界等值方法

将节点强度量和广延量注入值按照节点类型分划分为 $ψ_{B} (s), ψ_{I} (s) 和 ζ_{B} (s), ζ_{I} (s)$ ，式（9）可写为：

$[\begin{matrix} Y_{B B} & Y_{B I} \\ Y_{I B} & Y_{I I} \end{matrix}] [\begin{matrix} ψ_{B} (s) \\ ψ_{I} (s) \end{matrix}] = [\begin{matrix} ζ_{B} (s) \\ ζ_{I} (s) \end{matrix}]$

（20）

式中： $Y_{B B}$ ， $Y_{B I}$ ， $Y_{I B}$ ， $Y_{I I}$ 为Y的分块矩阵。

利用高斯消元法可得：

$(Y_{B B} - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} Y_{I B}) ψ_{B} (s) = ζ_{B} (s) - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} ζ_{I} (s)$

（21）

2.2　第二类边界条件下的边界等值方法

将节点广延量注入按照节点类型分划分为 $ζ_{B} (s) 和 ζ_{I} (s)$ ，将支路末端广延量划分为 $ζ_{e, B}^{o u t} (s) 和 ζ_{e, I}^{o u t} (s)$ ，分别表示连接边界节点的支路以及与边界节点无连接的支路，则式(17)可写为：

$[\begin{matrix} Y_{B B} & Y_{B I} \\ Y_{I B} & Y_{I I} \end{matrix}] [\begin{matrix} ζ_{B} (s) \\ ζ_{I} (s) \end{matrix}] = [\begin{matrix} ζ_{e, B}^{o u t} (s) \\ ζ_{e, I}^{o u t} (s) \end{matrix}]$

（22）

同理可得：

$(Y_{B B} - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} Y_{I B}) ζ_{B} (s) = ζ_{e, B}^{o u t} (s) - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} ζ_{e, I}^{o u t} (s)$

（23）

同样需要强调的是，本章仅研究了统一数学方程下单层网络的边界等值方法，实际多能源网络的边界等值与各个系统网络特点以及与其他系统的边界耦合特性相关，后文将具体阐述。

3 热网广义电路模型与分析方法

3.1　热网基本结构

热网是供水网与回水网耦合的双层网络。供水网温度较高，将热量从热源输送至热负荷，负荷消纳热量后，温度较低的工质进入回水网，返回热源再次加热并进入供水网。供水管道与回水管道一般材质相同、平行埋置，在研究中可认为两者的管道参数相同、拓扑结构对称。热网中的节点和支路的一般结构如图1所示，图中， $φ_{e}^{s, i n}$ 和 $φ_{e}^{s, o u t}$ 分别为供水网支路e始端和终端热流功率； $φ_{v}^{s, g}$ 和 $φ_{v}^{s, d}$ 分别为注入和流出供水网节点v的热流功率； $φ_{v}^{g}$ 和 $φ_{v}^{d}$ 分别为节点v处热源和热负荷功率； $φ_{v}^{r, g}$ 和 $φ_{v}^{r, d}$ 分别为流回和注入回水网节点v的热流功率； $φ_{e}^{r, i n}$ 和 $φ_{e}^{r, o u t}$ 分别为回水网支路e始端和终端热流功率；每个节点的热源与热负荷值可以为0。

图1 热网中节点和支路的一般结构与相关变量

Fig.1 General structure and relevant variables of nodes and branches in heat network

定义有向图 $G = (V, E)$ 表示供水网的拓扑，其中，有向图的方向由质调节模式下的水流方向确定。由于供水网和回水网完全镜像，因此同样可以用G表示回水网结构。

下文以第二类边界条件下通用网络建模方法为基础，结合热网的双层耦合网络特性，推导矩阵表达的热网全网络广义电路模型。

首先，定义供水网和回水网的节点-支路矩阵来描述网络的拓扑结构。对于供水网，根据工质的流动方向按照式(11)和式(12)定义节点-支路关联矩阵 $A^{s +} = (a_{v e}^{s +})_{| V | \times | E |}$ 和 $A^{s -} = (a_{v e}^{s -})_{| V | \times | E |}$ 。由于回水网与供水网完全镜像，拓扑一致，仅工质流动方向相反，因此回水网节点-支路关联矩阵分别为 $A^{r +} = A^{s -}$ 和 $A^{r -} = A^{s +}$ 。

根据热力流支路特性，定义热网支路特性矩阵 $Z$ 为：

$Z = d i a g {(e x p (- \frac{λ_{e} + c ρ A_{e} s}{c m_{e}} L_{e}))}_{| E | \times | E |} \begin{matrix} \end{matrix} \forall e \in E$

（24）

式中： $λ_{e}$ 为支路e的管道导热系数； $c$ 为工质比热容； $ρ$ 为工质密度； $A_{e}$ 为支路e的管道横截面积； $L_{e}$ 为支路e的管道长度； $m_{e}$ 为支路e的质量流量。

可以看到，支路矩阵的对角元素是包含拉普拉斯算子 $s$ 的常数，其描述了支路热力流的损耗和时延，即支路末端热流功率与首端热流功率比为 $e x p (- λ_{e} L_{e} / (c m_{e}))$ ，支路时延为 $(ρ A_{e} / m_{e}) L_{e}$ 。

由于热网中不同支路、不同温度的工质在汇入节点处经过混合得到唯一节点温度，所以流出节点的各支路水温一致，热流功率根据各支路质量流量按比例分配，据此定义供水网与回水网的分配系数矩阵分别为：

$D_{1}^{s} = d i a g {(\frac{m_{e}}{m_{v}^{d} + \sum_{e \in Ω_{v}^{+}} m_{e}})}_{| E | \times | E |} \begin{matrix} \end{matrix} \forall e \in E$

（25）

$D_{2}^{s} = d i a g {(\frac{m_{v}^{d}}{m_{v}^{d} + \sum_{e \in Ω_{v}^{+}} m_{e}})}_{| V | \times | V |} \begin{matrix} \end{matrix} \forall v \in V$

（26）

$D_{1}^{r} = d i a g {(\frac{m_{e}}{m_{v}^{g} + \sum_{e \in Ω_{v}^{+}} m_{e}})}_{| E | \times | E |} \begin{matrix} \end{matrix} \forall e \in E$

（27）

$D_{2}^{r} = d i a g {(\frac{m_{v}^{g}}{m_{v}^{g} + \sum_{e \in Ω_{v}^{+}} m_{e}})}_{| V \times | V |} \begin{matrix} \end{matrix} \forall v \in V$

（28）

式中： $D_{1}^{s} 和 D_{1}^{r}$ 分别为供水网和回水网每个节点流向后继支路的热流功率占比； $D_{2}^{s} 和 D_{2}^{r}$ 分别为供水网中每个节点流向负荷的热流功率占比和回水网中每个节点流向热源的热流功率占比； $m_{v}^{d} 和 m_{v}^{g}$ 分别为节点 $v$ 处经过负荷与热源的质量流量。

3.2　热网全网络广义电路模型

首先，推导矩阵化热力网络广义电路模型，则表征支路热损耗和时延特性的方程为：

$φ^{s, o u t} (s) = Z φ^{s, i n} (s)$

（29）

$φ^{r, o u t} (s) = Z φ^{r, i n} (s)$

（30）

式中： $φ^{s, o u t} = (φ_{e}^{s, o u t})_{|E| \times 1}$ ； $φ^{s, i n} = (φ_{e}^{s, i n})_{|E| \times 1}$ ； $φ^{r, o u t} = (φ_{e}^{r, o u t})_{|E| \times 1}$ ； $φ^{r, i n} = (φ_{e}^{r, i n})_{|E| \times 1}$ 。

供水网和回水网由各个节点的热负荷、热源产生直接耦合，其中供水网工质经热负荷放热后流入回水网，回水网工质经热源加热后流入供水网，数学关系如下。

$φ^{g} (s) = φ^{s, g} (s) - φ^{r, g} (s)$

（31）

$φ^{d} (s) = φ^{s, d} (s) - φ^{r, d} (s)$

（32）

式中： $φ^{g} = (φ_{v}^{g})_{|V| \times 1}$ ； $φ^{d} = (φ_{v}^{d})_{|V| \times 1}$ ; $φ^{s, g} = (φ_{v}^{s, g})_{|V| \times 1}$ ； $φ^{s, d} = (φ_{v}^{s, d})_{|V| \times 1}$ ； $φ^{r, g} = (φ_{v}^{r, g})_{|V| \times 1}$ ； $φ^{r, d} = (φ_{v}^{r, d})_{|V| \times 1}$ 。

支路热流功率在节点处满足能量功率平衡定律，即汇入节点的热量与流出节点的热量相等。结合热网节点温度混合特性，进一步得到支路热力功率的数学关系如下。

$φ^{s, i n} (s) = D_{1}^{s} (A^{s +})^{T} (A^{s -} φ^{s, o u t} (s) + φ^{s, g} (s))$

（33）

$φ^{s, d} (s) = D_{2}^{s} (A^{s -} φ^{s, o u t} (s) + φ^{s, g} (s))$

（34）

$φ^{r, i n} (s) = D_{1}^{r} (A^{r +})^{T} (A^{r -} φ^{r, o u t} (s) + φ^{r, d} (s))$

（35）

$φ^{r, g} (s) = D_{2}^{r} (A^{r -} φ^{r, o u t} (s) + φ^{r, d} (s))$

（36）

式（29）—式（36）即为基于矩阵表示的热力系统全网络广义电路模型。

3.3　热网换热器建模

一次热网通过换热器在各个节点与热源和负荷发生热交换。本节以最常见的对流换热器为例，描述换热器数学模型并分析其对一次热网支路与节点方程的影响。图2为对流换热器的示意图，其中 $T_{h i} 和 T_{h o}$ 分别为高温侧的入端与出端温度； $T_{c i} 和 T_{c o}$ 分别为低温侧的入端与出端温度； $m_{h} 和 m_{c}$ 分别为高温侧与低温侧的质量流量。热力负荷端的高温侧是一次热网，低温侧是二次热网；供热热源端的高温侧是热电联供机组、电锅炉等，低温侧则是一次热网。

图2 对流换热器示意图

Fig.2 Schematic diagram of convective heat exchanger

对流换热器涉及的方程有3个，包括高温侧工质释放的热功率 $φ_{h}$ 、低温侧工质接受的热功率 $φ_{c}$ 和换热器传热功率 $φ_{h e x}$ ，分别如式（37）—式（39）所示。

$φ_{h} = c m_{h} (T_{h i} - T_{h o})$

（37）

$φ_{c} = c m_{c} (T_{c o} - T_{c i})$

（38）

$φ_{h e x} = k A \frac{(T_{h i} - T_{c o}) - (T_{h o} - T_{c i})}{l n (\frac{T_{h i} - T_{c o}}{T_{h o} - T_{c i}})}$

（39）

式中： $k$ 为换热器传热系数； $A$ 为换热器面积。

当高温侧与低温侧的温度或流量改变时，换热器会经历短暂的动态过程，一般1~2 min即可达到稳态^[

20,21]，远远小于热量沿热网支路迁移的时间，在本文提出的热网动态模型中可以忽略。当换热器处于稳态时，上述3个热功率值相等，即

$φ_{h} = φ_{c} = φ_{h e x}$ ，可得到换热器高温侧与低温侧出口温度分别为：

$T_{h o} = (1 - η) T_{h i} + η T_{c i}$

（40）

$T_{c o} = (1 - γ) T_{h i} + γ T_{c i}$

（41）

其中

$η = \frac{e x p (a) - 1}{e x p (a) - \frac{m_{h}}{m_{c}}}$

（42）

$γ = \frac{1 - \frac{m_{c}}{m_{h}}}{e x p (- a) - \frac{m_{c}}{m_{h}}}$

（43）

式中： $a = k A {[1 / (c m_{h})] - [1 / (c m_{c})]}$ ，为与换热器换热面积、工质流量相关的常数。

从换热器高温侧与低温侧出口温度表达式（40）和式（41）可以看到，换热器高温侧与低温侧的进出口温度有一定的范围，即 $T_{c i} \leq T_{h o} \leq T_{h i}$ ， $T_{c i} \leq T_{c o} \leq T_{h i}$ ，同时需要满足关系式(40)和式（41），具体的系数 $η 和 γ$ 与换热器的换热系数、换热面积等参数相关。这些反映在本文所提热网模型中，即供水网与回水网每个节点的温度是有上、下限约束的，但并不影响热网支路和节点方程的具体形式。若以每个节点处供回水网的热流功率为变量，则换热器对全网络模型的影响可以表示为：

$c m_{v}^{d} {\underset{̲}{T}}_{v}^{s, d} \leq φ_{v}^{s, d} \leq c m_{v}^{d} {\bar{T}}_{v}^{s, d}$

（44）

$c m_{v}^{d} {\underset{̲}{T}}_{v}^{r, d} \leq φ_{v}^{r, d} \leq c m_{v}^{d} {\bar{T}}_{v}^{r, d}$

（45）

$c m_{v}^{g} {\underset{̲}{T}}_{v}^{s, g} \leq φ_{v}^{s, g} \leq c m_{v}^{g} {\bar{T}}_{v}^{s, g}$

（46）

$c m_{v}^{g} {\underset{̲}{T}}_{v}^{r, g} \leq φ_{v}^{r, g} \leq c m_{v}^{g} {\bar{T}}_{v}^{r, g}$

（47）

式中： ${\bar{T}}_{v}^{s, d}, {\underset{̲}{T}}_{v}^{s, d} 和 {\bar{T}}_{v}^{r, d}, {\underset{̲}{T}}_{v}^{r, d}$ 分别为节点 $v$ 处考虑负荷侧二次热网温度限制的一次热网供水和回水温度上、下限； ${\bar{T}}_{v}^{s, g}, {\underset{̲}{T}}_{v}^{s, g} 和 {\bar{T}}_{v}^{r, g}, {\underset{̲}{T}}_{v}^{r, g}$ 分别为节点 $v$ 处考虑热源侧温度限制的一次热网供水和回水温度上、下限。

3.4　热网边界等值方法

在热网中，关键节点通常是供热节点和热负荷节点，管道交汇点等节点则为内部非关键节点。热负荷的变化如何影响供热是电-热系统协同分析乃至多能源系统优化中的重要问题。

首先，将式（29）和式（30）代入式（33）和式（35），基于式（18）的证明和推导可知：

$φ^{s, o u t} (s) = Y_{1}^{s} φ^{s, g} (s)$

（48）

$φ^{r, o u t} (s) = Y_{1}^{r} φ^{r, g} (s)$

（49）

其中

$Y_{1}^{s} = (Z^{- 1} - D_{1}^{s} (A^{s +})^{T} A^{s -})^{- 1} D_{1}^{s} (A^{s +})^{T}$

（50）

$Y_{1}^{r} = (Z^{- 1} - D_{1}^{r} (A^{r +})^{T} A^{r -})^{- 1} D_{1}^{r} (A^{r +})^{T}$

（51）

将式（48）和式（49）代入式（34）和式（36），消去支路变量、保留节点变量，得

$φ^{s, d} (s) = Y_{2}^{s} φ^{s, g} (s)$

（52）

$φ^{r, g} (s) = Y_{2}^{r} φ^{r, d} (s)$

（53）

其中

$Y_{2}^{s} = D_{2}^{s} (A^{s -} Y_{1}^{s} + I)$

（54）

$Y_{2}^{r} = D_{2}^{r} (A^{r -} Y_{1}^{r} + I)$

（55）

式中： $I$ 为单位矩阵。

最后推导得到热源热功率 $φ^{g} (s)$ 和负荷热功率 $φ^{d} (s)$ 之间的边界等值关系为：

$\begin{array}{l} φ^{g} (s) = φ^{s, g} (s) - φ^{r, g} (s) = φ^{s, g} (s) - Y_{2}^{r} φ^{r, d} (s) = \\ φ^{s, g} (s) - Y_{2}^{r} (φ^{s, d} (s) - φ^{d} (s)) = φ^{s, g} (s) - \\ Y_{2}^{r} (Y_{2}^{s} φ^{s, g} (s) - φ^{d} (s)) = \\ Y_{2}^{r} φ^{d} (s) + (I - Y_{2}^{r} Y_{2}^{s}) φ^{s, g} (s) \end{array}$

（56）

式（56）即为拉普拉斯域中热网的边界等值模型，解析表达了计及热网动态储能特性下热源和负荷热功率的数学关系。式（56）中除了热源热功率 $φ^{g} (s)$ 和负荷热功率 $φ^{d} (s)$ 这2个变量外，还存在辅助变量 $φ^{s, g} (s)$ ，其具体含义是热源注入供水网的热流功率，与供水网相应节点温度成正比，一般由区域热力供应商或热源运行机构设定调整，是用来控制整个热网温度的指标。这里需要再次强调，注入供水网的热流功率不等于热源的供热功率，热源的供热功率是注入供水网的热流功率与回水网流出的热流功率之差。

应用拉普拉斯反变换可得时域中的热网边界等值模型为：

$φ^{g} (t) = L^{- 1} (Y_{2}^{r} φ^{d} (s) + (I - Y_{2}^{r} Y_{2}^{s}) φ^{s, g} (s))$

（57）

热网的边界等值模型可以应用于多能源系统的协同分析，特别是电-热系统的耦合优化运行。使用热网边界等值模型代替全网络特性模型可以解析地展示热力系统的源-荷函数关系，同时隐藏热网的细节参数，在不降低分析精确度的情况下大幅减少多能源系统间的信息交互，降低协同分析计算量，同时保护热力系统的数据隐私。

需要指出的是，热网的广义电路分析理论有一定的应用前提。一方面，本文提出的全网络模型将热负荷、热源简化为了节点热功率注入，没有考虑换热器的影响。若考虑换热器的动态换热过程，需要进一步研究供回水温度变化约束。换热器模型将另文研究。另一方面，本文假定了热网模型工质流量不变，因此热网广义电路模型中的电抗与接地导纳均为常数，当热网处于流量与温度同时调节的“质量调节”模式下，支路参数为时变参数，需要进一步研究分析方法。

4 气网广义电路模型与分析方法

4.1　气网基本结构

气网是由输气管道组成的单层网络，分为跨区高压输气网和区域低压配气网络。高压输气网的压力一般为几十个大气压，跨度为几十至上百千米不等，主要为燃气电厂、城市门站供气；低压配气网则一般为几个大气压的区域内辐射状网络，通常为居民供气。由于燃气系统和电力系统的耦合主要发生在燃气电厂环节，因此本文将主要研究高压输气网。高压输气网的一般结构如图3所示，要素包括节点、支路和压缩机。图中，t_e为气网支路e的压缩机变比； $Δ f_{e}$ 为支路e的燃气流量（变化量）； $Δ π = (Δ π_{v})_{|V| \times 1}$ 为气压节点v的压力变化量向量； $Δ f = (Δ f_{v})_{|V| \times 1}$ 为气压节点v注入流量变化量向量。气源节点一般为定压力节点，即由压缩机固定压力向气网输气。压缩机则可以视为燃气系统中的“变压器”，其通过抽取部分管道内燃气燃烧或消耗电力作为动力输入，改变管道压力，保证管网末端压力在运行范围内。

图3 高压输气网一般结构

Fig.3 General structure for high-pressure gas transmission network

4.2　气网全网络广义电路模型

燃气流支路模型满足第一类边界条件，可近似等效为一阶RC电路，因此可以根据通用网络建模方法建立全网络动态模型。但是，气网部分支路含有压缩机，因此需要结合气网特性进行相应的修正。

首先，根据支路拓扑连接关系定义式(4)所示的关联矩阵 $A = (a_{v e})_{| V | \times | E |}$ 。接着，结合支路拓扑关系和支路压缩机变比定义修正关联矩阵 $A' =$ $(a_{v e} {')}_{| V | \times | E |}$ ，其元素如式（58）所示。如果支路 $e$ 无压缩机，则相应的 $t_{e} = 1$ 。

$a_{v e}^{}' = \{\begin{array}{l} 1 & e \in Ω_{v}^{+} \\ - \frac{1}{t_{e}} & e \in Ω_{v}^{-} \\ 0 & 无连接 \end{array}$

（58）

根据第一类边界条件下的全网络模型式（5）—式（9）可知，气网的全网络广义电路模型为：

$Y Δ π (s) = Δ f (s)$

（59）

式中： $Y = A d i a g (y_{b}) {(A')}^{T} + d i a g (y_{s})$ 。

式（59）即为燃气系统的全网络的动态特性模型，描述了整个网络中各个节点气压变化量与节点注入气流量变化量的关系。由于方程是拉普拉斯域中的模型，因此求解后需要做拉普拉斯反变换，将其转化为时域中的结果使用，即

$Δ f (t) = L^{- 1} (Y Δ π (s))$

（60）

4.3　气网边界等值方法

在高压输气网中，燃气机组具有流量大、变化快的特点，是最为重要的负荷之一。一方面，燃气机组的出力变化会改变燃气系统全网络的压力分布，继而影响在网燃气机组的发电安全性，是多能源系统集成电-气系统耦合中的重要问题。另一方面，燃气机组往往处于城市门站上游，节点压力变化会对下游压力产生显著影响，必须重点监控。因此，本文将燃气机组所在节点定义为关键边界节点，相应节点集合记为 $B$ 。除去关键节点，非关键节点可分为 2类：①压力恒定的节点，例如部分气源所在节点，此类节点集合记为C；②负荷恒定（或相比燃气机组变化幅度小、变化速度慢）的节点，此类节点集合记为I。将节点按照分类重新排序，式(59)可写为：

$[\begin{matrix} Y_{B B} & Y_{B I} & Y_{B C} \\ Y_{I B} & Y_{I I} & Y_{I C} \\ Y_{C B} & Y_{C I} & Y_{C C} \end{matrix}] [\begin{matrix} Δ π_{B} (s) \\ Δ π_{I} (s) \\ Δ π_{C} (s) \end{matrix}] = [\begin{matrix} Δ f_{B} (s) \\ Δ f_{I} (s) \\ Δ f_{C} (s) \end{matrix}]$

（61）

式中： $Y_{B C}$ , $Y_{I C}$ , $Y_{C B}$ , $Y_{C I}$ , $Y_{C C}$ 为Y的分块矩阵； $Δ π_{B}$ ， $Δ π_{I}$ ， $Δ π_{C}$ 为 $Δ π$ 的分块向量； $Δ f_{B}$ ， $Δ f_{I}$ ， $Δ f_{C}$ 为 $Δ f$ 的分块向量。

利用高斯消元法可以得到：

$(Y_{B B} - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} Y_{I B}) Δ π_{B} (s) = Δ f_{B} (s) - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} Δ f_{I} (s)$

（62）

即燃气电厂所在边界节点的压力变化量可以用所有燃气负荷节点的注入流量变化量线性表示。如果认为节点集合 $I$ 的负荷变化量可忽略不计，即 $Δ f_{I} (s) = 0$ ，则式（62）可进一步化简为：

$(Y_{B B} - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} Y_{I B}) Δ π_{B} (s) = Δ f_{B} (s)$

（63）

式（63）即为反映燃气系统动态特性的等值边界模型，描述了关键节点气压变化量与节点注入气流变化量的关系。由于方程是拉普拉斯域中的模型，因此求解后需要做拉普拉斯反变换，将其转化为时域中的结果使用，即

$Δ f_{B} (t) = L^{- 1} ((Y_{B B} - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} Y_{I B}) Δ π_{B} (s))$

（64）

气网的边界等值模型可以应用于多能源系统的协同分析，特别是电-气系统的耦合优化运行。使用气网边界等值模型可以有效表征全网络动态特性对于边界关键端口影响，从而大幅减少多能源系统间的信息交互，降低协同分析计算量，同时保护燃气系统的数据隐私。由于本理论使用了基准点线性化和主导时间常数近似的方法推导燃气流支路模型，气网边界等值模型与非线性偏微分方程计算结果存在一定差距，应用时可以通过持续更新基准点和保留多个主导时间常数的方法降低误差。

此外，气网的广义电路分析理论有一定的应用前提。本文提出的全网络模型将压缩机简化为“变压器”，没有考虑压缩机可能直接使用管道燃气作为燃料，对于管道燃气流量可能存在影响。此外，本文提出的气网边界等值模型是高阶传递函数，实际应用时可以对传递函数矩阵进行低阶近似，具体的近似阶数没有标准数值，需要根据实际需求的计算精度和复杂度进行权衡。

5 算例分析

5.1　热网建模与等值

1)单热源辐射状热网算例

本节首先使用图4所示的4节点热网说明全网络和边界等值动态模型的建立过程和应用方法。该算例包含1个热源和3个热负荷，热负荷的日变化曲线已知，如图5所示，需要求解热源的供热函数。算例中热网参数如附录A表A1所示。

图4 四节点热网算例

Fig.4 Case of 4-node heat network

图5 热负荷日变化曲线

Fig.5 Daily variation curve of heat load

根据式（11）和式（12）可知，供水网和回水网的节点-支路关联矩阵为：

$A^{s +} = A^{r -} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

（65）

$A^{s -} = A^{r +} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

（66）

根据式（24）可求得该热网的支路特性矩阵为:

$\begin{array}{l} Z = d i a g {(e x p (- \frac{λ_{e} + c ρ A_{e} s}{c m_{e}} L_{e}))}_{| E | \times | E |} = \\ \begin{matrix} \end{matrix} d i a g [\begin{matrix} 0.96 e^{- 2 s} & 0.96 e^{- 2 s} & 0.94 e^{- 3 s} \end{matrix}] \begin{matrix} \forall e \in E \end{matrix} \end{array}$

（67）

以矩阵 $Z$ 的第1个元素 $0.96 e^{- 2 s}$ 为例，其说明支路V₁-V₂的时延为2 h，网损为4%。

根据式（25）—式（28）可求得供水网和回水网的分配系数分别为：

$\{\begin{array}{l} D_{1}^{s} = d i a g [\begin{matrix} 1 & 0.333 & 0.5 \end{matrix}] \\ D_{2}^{s} = d i a g [\begin{matrix} 0 & 0.167 & \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \end{matrix}] \\ D_{1}^{r} = d i a g [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}] \\ D_{2}^{r} = d i a g [\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} & 0 & 0 \end{matrix}] \end{array}$

（68）

以矩阵 $D_{1}^{s}$ 为例，其第2个元素表示支路V₂-V₃的始端功率占从节点V₂流出的总功率的33.3%，第3个元素表示支路V₂-V₄的始端功率占从节点V₂流出的总功率的50%。

根据式（56）可知，热源与热负荷在拉普拉斯域的显式函数关系为：

$\begin{array}{l} φ_{1}^{g} (s) = 0.96 e^{- 2 s} φ_{2}^{d} (s) + 0.92 e^{- 4 s} φ_{3}^{d} (s) + \\ 0.90 e^{- 5 s} φ_{4}^{d} (s) + (1 - 0.154 e^{- 4 s} - \\ 0.283 e^{- 8 s} - 0.407 e^{- 10 s}) φ_{1}^{s, g} (s) \end{array}$

（69）

应用拉普拉斯反变换可得时域表达式为:

$\begin{array}{l} φ_{1}^{g} (t) = 0.96 φ_{2}^{d} (t - 2) + 0.92 φ_{3}^{d} (t - 4) + 0.90 φ_{4}^{d} (t - 5) + φ_{1}^{s, g} (t) - 0.154 φ_{1}^{s, g} (t - 4) - \\ 0.283 φ_{1}^{s, g} (t - 8) - 0.407 φ_{1}^{s, g} (t - 10) \end{array}$

（70）

如果本文不考虑热网的动态特性，则支路特性矩阵 $Z$ 退化为实常数矩阵，可表示为：

$Z = d i a g [\begin{matrix} 0.96 & 0.96 & 0.94 \end{matrix}]$

（71）

相应的热源与热负荷的显式函数关系为：

$\begin{array}{l} φ_{1}^{g} (t) = 0.96 φ_{2}^{d} (t) + 0.92 φ_{3}^{d} (t) + 0.90 φ_{4}^{d} (t) + \\ 0.156 φ_{1}^{s, g} (t) \end{array}$

（72）

进一步的，如果本文不考虑热网支路的热损耗，则支路特性矩阵 $Z$ 退化为单位矩阵，相应的热源与热负荷的显式函数关系为：

$φ_{1}^{g} (t) = φ_{2}^{d} (t) + φ_{3}^{d} (t) + φ_{4}^{d} (t)$

（73）

在这种情况下，热源与热负荷的显式函数关系等同于热源与热负荷直接连接，因此满足最基本的能量守恒定律。

热源的供热曲线与供水温度直接相关，这一点反映在式（56）中，即为 $φ_{1}^{g} (t)$ 与 $φ_{1}^{s, g} (t)$ 直接相关。假设外界环境温度为0，供水网节点V₁的水温为90 ℃，则 $φ_{1}^{s, g} (t) = c m_{1} T = 2.27 M W$ ，相应的热源供热曲线如图6所示。可以看到，当热网的稳态特性和动态模型均考虑了网损，因此即使在0~5 h和20~24 h负荷为0的阶段，热源依然保持供热。此外，热网动态模型考虑了热源感知不同负荷变化的时延，因此热源供热曲线为阶梯形。相反的，在稳态模型下，热源供热与负荷需实时平衡，因此在5 h时热源功率突变为3个节点热负荷与网损的加和。

图6 不同模型下热源供热曲线

Fig.6 Heat supply curves of heat source in different models

2)多热源环状热网算例

本节使用如图7所示的32节点热网说明多热源环状热网的边界等值模型与单热源辐射状热网的异同。该算例包含32个节点和32条支路，其中节点V₁，V₃₁，V₃₂接入热源。图7中标注了每条支路的传输时延（四舍五入至整数），单位为分钟。下面利用本文所提模型研究节点V₃₁处热源的供热曲线与热网负荷、其他热源的函数关系。

图7 32节点热力网络算例

Fig.7 Case of 32-node heat network

根据式（56）的形式可知，节点V₃₁处热源的热功率函数与各节点热负荷 $ϕ_{}^{d}$ 以及所有热源节点处的 $ϕ_{}^{s, g}$ 相关，其计算结果在拉普拉斯域表示为4部分的加和，即

$\begin{array}{l} φ_{31}^{g} (s) = f (φ_{1}^{d} (s), φ_{2}^{d} (s), \dots, φ_{32}^{d} (s)) + \\ f (φ_{1}^{s, g} (s)) + f (φ_{31}^{s, g} (s)) + f (φ_{32}^{s, g} (s)) \end{array}$

（74）

其中 $f (φ_{1}^{d} (s), φ_{2}^{d} (s), \dots, φ_{32}^{d} (s))$ 为负荷对节点V₃₁处热源的影响，具体函数关系如下。

$\begin{array}{l} f = 0.188 e^{- 142 s} φ_{5}^{d} (s) + 0.183 e^{- 165 s} φ_{6}^{d} (s) + 0.998 e^{- 69 s} φ_{7}^{d} (s) + \dots + (0.141 e^{- 94 s} + 0.098 e^{- 224 s}) φ_{22}^{d} (s) + \\ (0.139 e^{- 108 s} + 0.097 e^{- 238 s}) φ_{23}^{d} (s) + (0.139 e^{- 106 s} + 0.097 e^{- 235 s}) φ_{24}^{d} (s) + \dots + 0.988 e^{- 36 s} φ_{30}^{d} (s) + φ_{31}^{d} (s) \end{array}$

（75）

结合图4标注的各支路时延，可以解读式（75）中各项系数的物理意义。例如 $φ_{7}^{d}$ 对应的时延项为 $e^{- 69 s}$ ，这是因为节点V₇通过支路V₃₁-V₇直接影响热源节点V₃₁且该支路的时延为69 min； $φ_{5}^{d}$ 对应的时延项为 $e^{- 142 s}$ ，这是因为热源节点V₃₁的热量传输到节点V₅需要经过支路V₃₁-V₇和V₇-V₅，时延为 142 min。同时注意到，由于热网是环状拓扑，因此部分节点的负荷可以同时通过多条路径供应。例如节点V₃₁的热源经过2条不同的路径（V₃₁-V₇-V₅-V₁₁-…-V₂₂）和（V₃₁-V₂₈-V₂₅-V₂₂）同时供应节点V₂₂,V₂₃和V₂₄的负荷，2条路径对应不同的时延和网损。此外，该热源系统中含有多个热源，因此节点的热负荷可能由多个热源承担。例如节点V₇的负荷仅由节点V₃₁的热源供应，因此 $φ_{7}^{d}$ 对应的系数接近1；节点V₅的负荷同时由节点V₃₁和V₁的热源供应，因此式（75）中 $φ_{5}^{d}$ 对应的系数较小。

$f (φ_{31}^{s, g} (s))$ 表示节点V₃₁注入供水网的热功率对该节点处回水热功率的影响，是热源的“自作用”，具体函数式如下。

$\begin{array}{l} f = (1 - 0.002 e^{- 338 s} - 0.002 e^{- 211 s} - 0.003 e^{- 341 s} - 0.097 e^{- 69 s} - \dots - 0.001 e^{- 460 s}) φ_{31}^{s, g} (s) \end{array}$

(76)

以式（76）中第1项 $0.002 e^{- 338 s}$ 为例，该项系数对应的热流由节点V₃₁注入供水网，经过路径V₃₁-V₇-V₅-V₁₁后以相反的路径沿回水网返回至节点V₃₁，因此相应的时延为 $338 (= 69 \times 2 + 73 \times 2 +$ $27 \times 2)$ min。

$f (φ_{1}^{s, g} (s))$ 和 $f (φ_{32}^{s, g} (s))$ 则分别表示节点V₁和V₃₂处热源注入供水网的热功率对节点V₃₁处回水热功率的影响，是热源的“互作用”，以 $f (φ_{32}^{s, g} (s))$ 为例，具体函数式为：

$\begin{array}{l} f = (- 0.016 e^{- 253 s} - 0.014 e^{- 287 s} - \dots - 0.010 e^{- 391 s}) φ_{32}^{s, g} (s) \end{array}$

（77）

以式（77）中第1项 $0.016 e^{- 253 s}$ 为例，该项系数对应的热流由节点V₃₂注入供水网，经过路径V₃₂-V₁₁后以路径V₁₁-V₅-V₉-V₇-V₃₁沿回水网返回至节点V₃₁，相应的时延为253(=84+27+73+69) min。

通过本算例可以看到，多热源环状热网的边界等值方程远复杂于式（69）所示的单热源辐射状热网，不仅包含热源之间的相互作用，还需要考虑节点负荷可能由多个热源、多条路径同时供给的因素。值得一提的是，面对本算例中复杂环状多热源的热网，本文所提出的拉普拉斯域热网边界等值方法依然能够通过标准化的代数矩阵运算，快速计算出热网边界等值模型，因此，本文所提方法的价值得到进一步验证。

5.2　气网建模与等值

本节使用图8所示的11节点气网系统说明气网动态特性等值边界方程的应用^[

22]。该系统中节点V₁是压力恒定的气源节点,节点V₃是流量恒定的气源节点，节点V₄和V₅为燃气机组负荷，节点V₆为恒定负荷。节点V₁的初始气压为700 psia（1 psia=6.894 8 kPa），节点V₃和V₆的注入和负荷流量分别恒定为40

$m^{3} / s$ 和23.2

$m^{3} / s$ ，节点V₄和V₅的初始负荷流量分别为28.8

$m^{3} / s$ 和34.3

$m^{3} / s$ 。现已知燃气机组G1和G2所在节点的用气量变化，求节点V₄和V₅的气压变化曲线。

图8 11节点燃气网算例

Fig.8 Case of 11-node gas network

在本问题中，关键节点集合为 $B = {V_{4}, V_{5}}$ ，压力恒定节点集合为 $C = {V_{1}}$ ，负荷恒定节点集合为 $I = {V_{2}, V_{3}, V_{6}, V_{7}, V_{8}, V_{9}, V_{10}, V_{11}}$ 。根据式（59）推导可得拉普拉斯域等值边界模型为:

$[\begin{array}{l} Δ π_{4} (s) \\ Δ π_{5} (s) \end{array}] = Z_{e q} [\begin{array}{l} Δ f_{4} (s) \\ Δ f_{5} (s) \end{array}]$

（78）

这里用 $Z_{e q} = (Y_{B B} - Y_{B I} Y_{I I}^{- 1} Y_{I B})^{- 1}$ 表示气压随流量变化的函数关系。由于气网的端口气流-气压的关系实质反映了全网络各个支路的动态特性，因此， $Z_{e q}$ 多阶传递函数矩阵在实际工程中，可保留系数较大的项，将其简化为低阶传递函数矩阵。例如一阶近似矩阵为：

$Z_{e q} = [\begin{matrix} \frac{2.21}{s + 0.219} & \frac{0.711}{s + 0.119} \\ \frac{0.711}{s + 0.119} & \frac{2.45}{s + 0.223} \end{matrix}]$

（79）

二阶近似矩阵为：

$Z_{e q} = [\begin{matrix} \frac{0.895}{s + 0.136} + \frac{8.75}{s + 2.49} & \frac{0.923}{s + 0.136} + \frac{- 1.25}{s + 1.63} \\ \frac{0.923}{s + 0.136} + \frac{- 1.25}{s + 1.63} & \frac{0.954}{s + 0.136} + \frac{9.13}{s + 2.29} \end{matrix}]$

（80）

假设燃气机组的负荷变化可以用阶跃函数近似，即 $Δ f_{4} (s) = | Δ f_{4} | / s$ ， $Δ f_{5} (s) = | Δ f_{5} | / s$ ，其中 $| Δ f_{4} |$ 和 $| Δ f_{5} |$ 分别表示变化量的数值，则在二阶近似的传递函数矩阵下拉普拉斯域等值边界关系为：

$[\begin{array}{l} Δ π_{4} (s) \\ Δ π_{5} (s) \end{array}] = \frac{1}{s} [\begin{matrix} \frac{0.895}{s + 0.136} + \frac{8.75}{s + 2.49} & \frac{0.923}{s + 0.136} + \frac{- 1.25}{s + 1.63} \\ \frac{0.923}{s + 0.136} + \frac{- 1.25}{s + 1.63} & \frac{0.954}{s + 0.136} + \frac{9.13}{s + 2.29} \end{matrix}] [\begin{array}{l} |Δ f_{4} (s)| \\ |Δ f_{5} (s)| \end{array}]$

（81）

相应的时域表达式为：

$\begin{array}{l} Δ π_{4} (t) = [6.58 (1 - e^{- 0.136 t}) + 3.52 (1 - e^{- 2.49 t})] | Δ f_{4} | + \\ [(6.79 (1 - e^{- 0.136 t}) - 0.767 (1 - e^{- 1.63 t})] | Δ f_{5} | \end{array}$

（82）

$\begin{array}{l} Δ π_{5} (t) = \\ [6.79 (1 - e^{- 0.136 t}) - 0.767 (1 - e^{- 1.63 t})] | Δ f_{4} | + \\ [7.01 (1 - e^{- 0.136 t}) + 3.98 (1 - e^{- 2.29 t})] | Δ f_{5} | \end{array}$

（83）

下面验证该近似模型的仿真结果，并与准确的偏微分方程求解结果进行对比。假设节点V₄的负荷增长10%，节点V₅的负荷在零时刻下降15%，在11时刻增长10%，则节点V₄和V₅的气压变化暂态过程仿真结果如图9所示。

图9 关键节点气压变化暂态过程计算结果

Fig.9 Calculation results of air pressure changes for transient process of key nodes

由图9可以看到，近似暂态过程与真实暂态过程有一定的误差，主要来源于原始非线性方程线性化的过程和传递函数矩阵近似，实际应用中可以通过不断更新基准点和提高传递函数矩阵近似阶数减少误差。

6 结语

本文基于支路层的多能源网络广义电路模型，提出了拉普拉斯域中多能源系统全网络动态特性通用广义电路模型与边界等值方法，并分别就第一、二类边界条件下的全网络模型进行了分析。本文还结合热网和气网的特性推导了热网和气网的全网络动态特性模型与等值边界模型，解析化地描述了热源与热负荷的数学关系和热网的整体储热动态特性，描述了气网关键节点压力与节点注入流量的动态数学关系。算例证明，热网和气网等值模型能够准确刻画复杂系统的边界外端口信息。本文研究表明，多能源网络的边界等值模型可有效表征关键节点的物理量变化过程，为边界局部耦合的多能源系统分析提供了新思路，为多能源系统协同优化决策奠定了“网络传输动态特性”部分的描述基础。

本文与姐妹篇^[

1]共同组成了多能源网络的广义电路分析理论，运用电路比拟的思想建立了统一的数学方程和电路模型，揭示了异质能量流的共性和数学、物理层面的联系。多能源网络的广义电路分析理论在方法论层面也做出了创新，提出了基于拉普拉斯变换的网络建模与分析方法，在拉普拉斯域完成了多能源网络复杂动态特性的代数化描述，运用边界端口模型完成了对全网络动态传输特性的等值表征。审稿过程中，审稿人与作者的讨论见附录B

作为阶段性研究成果，本理论是在一定的前提假设下成立的，如何“打破”这些假设，使得广义电路模型更加具有普适性是未来的重要研究方向。此外，多能源网络的广义电路理论如何应用于多能源系统的联合分析、协同运行和优化规划也有待进一步研究。本文工作扩展了多能源系统网络分析理论，为多能源系统协同运行优化决策提供了模型基础。希望本文工作能够推进多能源系统网络分析理论与协同运行决策方法的研究，服务中国综合能源系统的实际建设与运行。

致谢

在本文撰写过程中，清华大学工程力学系工程热物理所陈群教授与作者进行了深入讨论，就热网与气网的建模与分析提出了很多专业性指导意见，在此表示特别感谢。

附录

附录A

$[\begin{matrix} y_{s, 1} + \sum y_{b, 1 j} & \dots & - y_{b, 1 j} & \dots \\ \dots & y_{s, i} + \sum y_{b, i j} & - y_{b, i j} & \dots \\ \dots & - y_{b, N j} & \dots & y_{s, N} + \sum y_{b, N j} \end{matrix}]$

（A1）

表A1 热网模型的主要参数

Table A1 Parameters of the district heating network case

支路	$导热系数 / (W \cdot m K^{- 1})$	$横截面积 / m^{2}$	$长度 / k m$	质量流量/(kg·s^-1)
1(V₁-V₂)	0.23	0.01	4.32	6
2(V₂-V₃)	0.23	0.01	1.44	2
3(V₂-V₄)	0.23	0.01	3.24	3

附录B 讨论

审稿专家（薛禹胜）：

多能源网络的电路比拟建模吸引了学界的关注，两篇论文对此做了较全面、深入的探讨。作为审稿专家，我推荐了两篇论文的发表。该项研究类比了电路模型，为多能源网络建立了统一的广义电路模型，通过拉普拉斯变换转换为分布参数的代数问题，再得到以支路为单位的集中参数传输模型。然后提出了多能源网络的外端口等值方法，将复杂的内部信息等效转换为边界条件。一些具体的修改建议已由作者在修改稿中考虑了，不再赘述。

但我想从稍宏观的层次上探讨多能源网络统一建模及统一分析的框架问题。我的提议得到了该文作者及责任编辑的一致赞同，从而催生了这次学术讨论的尝试。下面是我个人的一些看法，不妥之处敬请批评指正。

不同种类的能源在其开采、输送、存储、消费方面都有各自不同的特性，其结果是它们都有最适合自己的数学模型表达方式。追求用统一形式的数学模型来描述它们，至少有如下2方面的驱动力。

1）为了研究它们之间的同步交互，而必须为之。这可能发生在：不同领域的模型之间必须用最小的时-空粒度来交换信息的情况。或者原来被孤立表达为不同的模型，因为被发现实际上机理相同，因此不必引入近似假设就可以将其统一的情况。换句话说，如果能够在时-空中找到不同子系统的原有模型交换信息的（空间、时间，时空）合适端口，就不一定需要统一各自的内部模型，也一样可以在这些端口交换彼此的界面信息。

2）为了数学形式上的完美而为之。但是，只要不是其机理原本就相同的系统，统一模型必然会因为采取的某些折中，而损害原来的各种模型的适用性及扩展的灵活性。这样做在形式上带来的好处往往伴随着相当的代价。

举个与日常生活更贴近的交通系统为例。航空网与铁路网之间的协调优化对提高交通网的可靠性及效率都非常重要。除了要对2个子系统分别建模及仿真外，还要在其控制中心及关联的转运站及时交换信息并协调优化，但对另一方在2个相邻的转运站之间运行途中的大量数据并不需要太多关心。因此，对两网分别建模，有利于更贴切地反映各自的物理、非转运站点、班次、调度、维修计划、故障处置等特性，并有利于各自调度的灵活性。当然，两者的协调优化需要及时交换在各转运站的接口信息。

那么，针对多能源网络模型统一化的研究方向来说，到底是客观需求呢还是数学上的美观呢？统一模型带来许多新的限制及计算量，例如受限于交流电网、均匀传输线、管道流量恒定，没有输送油气的车辆路网等。广义电路不但不允许交流电网中含有直流支路，也不允许热网考虑流量与温度的同时调节，也不允许输气管道考虑高度与温度的变化，也难以考虑非管道运输方式参与协调等等。

不失一般性，假设2个相邻的能源节点之间兼有输送不同能源的输电线、热力管道、输气管道及输油管道。那么，它们在这2个节点之间就不会再有其他点发生能源上的交互了（如果有，就不是真正的相邻了）。集中参数的支路模型可以应对任何输电形式的静态及机电暂态研究，分布参数的支路模型可以应对电磁暂态研究，分布参数的输气管道模型可以考虑可压缩物体的行为。因此，在不同性质的管线中，可以用最合适的模型来分别处理它们，只需要在两端节点处通过边界外端口互相交互就可以了，而不必为了将符合克希霍夫第一定律的电流和可压缩的气体统一，而引入不必要的人为假设。

不论具体应用的场景，该文最终也是通过节点处的边界外端口信息来协调多能流的，而在两网支路中间位置上并无任何信息交换。此外，“电力系统转移分布因子”的概念并不一定要求模型的统一，就可以应用在原有的不同性质的能源网络中的。

多能源网络的边界等值模型仍然是各种能源各自孤立的节点与网络。不论模型是否统一，通过边界外端口研究互相交互的多能源网络，本质上都是一样的。强求完全不同物理特性或调控体系的多个子系统采用统一模型对其运行调度及事件处理的灵活性并不一定是很好的解决方案，设想一下若要将各种运煤系统的模型也统一进来呢，或者要进一步考虑相应的状态估计、安全分析等其他要求呢。

最后，为该文作者的探索精神和对学术争论的开放态度点赞。

作者：

我们非常感谢审稿专家关于综合能源系统建模问题的深入讨论。本文提出的综合能源广义电路分析理论的出发点是解决实际问题，并不是为了追求数学形式上的统一。具体地，有以下几方面的思考和说明。

1）首先，我们与审稿专家一样，都认为不同能源系统的物理本质不同，因此无法且没有必要建立大统一的模型。而本文提出的广义电路分析理论的初心是解决实际工程问题。本文想要解决的实际问题包括2个方面：一是如何在分钟级、小时级这一运行时间尺度有效表征、分析不同能源网络的动态特性；二是如何建立多能源网络的等值端口模型，实现多能源系统的分布式运行决策。气网和热网的在调度运行时间尺度的动态过程需要用偏微分方程描述，即使进行单独的分析也在数学上十分复杂。电路理论中提出拉普拉斯变换的目的也是将复杂的偏微分方程转化为代数方程进行分析。我们在研究中发现，气网与热网的动态过程也可以采用拉普拉斯变换简化其分析的复杂度，在这一点上与电路分析是有相似性的。我们提出“广义电路分析理论”其最终目的是为了延伸电路中已有的模型和方法解决这些实际问题。实际上，文中建立的气网模型与热网模型并不相同，且分别对应第一类与第二类边界条件，但在分析的方法论方面具有一致性，可谓“神似而形不同”，分析方法一致性的根源在于这些能量流方程可以通过变换以形式相似的偏微分方程描述。

此外，在数学层面上，本文提出的“广义电路分析理论”有利于揭示异质能量流的共性和物理特征间的联系。例如本文通过建模发现，热力流与“阻抗匹配”下的行波传输类似，燃气流动态过程与一阶RC电路类似。这样的“化归转化”的思想与电路以及电力系统中的“等值”、“等效”的方法论是类似的。这些发现有利于启发这一领域更多的研究思路，例如对气网与热网中的等效储能与延迟效应的理解等。

2）本文做了一系列前提假设，这些假设均有一定的实际应用背景，并非不合理的假设。这些假设的确使得提出的模型与精确系统有一定误差，我们认为这个问题需要辩证的看待。

一方面，对工程问题的研究总是遵循从简单到复杂、从特殊到一般的过程，很难直接建出一个“终极普适模型”。在对物理世界的建模中，前提假设是广泛存在的，是很多理论与模型推导的必要条件。例如我们在研究电力系统时，最常用的假设就是线路是时不变的均匀传输线。事实上实际输电线一定与理想的均匀传输线有区别，所以很多学者也研究了输电线路参数随温度的变化以及如何考虑分布参数的影响。如果我们在理论研究中不做均匀传输线的假设，就很难得到电力系统分析中的很多经典模型。

另一方面，这些假设引起的误差可以在未来的研究中消除。本文研究希望能够在广义电路分析中抛砖引玉，为未来更细致的研究奠定基础。例如本文忽略了热网的量调节过程和燃气管道的高度影响，这些因素是否有可能作为“电压源”、“电流源”融合进广义电路模型中？是否可以采用“时变电路”和“非线性电路”的方法进行分析？我们认为这些都是潜在的改进方向。

3）本文提出的广义电路分析方法的另一目的是得到考虑动态特征且具有物理意义的热网与气网的边界等值模型。

我们认为不同能源系统的端口交互的确不一定需要统一的模型，例如部分研究提出了使用拉格朗日乘子、ADMM乘子来交换不同系统的信息使多能源系统能够协同运行。但是这些乘子的物理意义不直观，难以反映热网与气网的动态特征，调度员无法根据乘子做定性、定量的判断，实际使用难度很大。本文提出的热力系统与燃气系统的边界等值模型具有非常明显的物理意义，与“电力系统转移分布因子”的概念非常相似，这一点并不是为了追求模型上的统一，而是源于方法论的一致性。

4）为了研究工作和论文叙述的严谨性，我们在此总结了本文提出的广义电路分析理论的前提假设、适用条件，并分析其可扩展性。

a）广义电路分析理论的前提假设

本文用广义电路理论表征多能源网络能量流特性是在一定的前提假设下推导得到的。其中电网的假设为：①交流电力系统；②电力线路是均匀传输线。热网的假设为：①工质流量恒定，即处于仅改变供热温度的“质调节”运行模式；②忽略工质内部的静态热传导。气网的假设为：①输气管网；②忽略燃气管道的温度变化与高度变化；③已知各个燃气支路的基准工作点；④燃气管道调节阀门不进行调整。这些前提假设将实际物理系统进行了一定程度的简化，保证了各个能源网络为线性时不变系统。

b）广义电路分析理论的适用条件

多能源网络的广义电路分析理论主要适用于分钟、小时级这一运行时间尺度。在这一时间尺度上，电力系统可以忽略毫秒级的电磁暂态与秒级的机电暂态过程，用代数方程描述线路潮流，而热力流与燃气流动态过程较缓慢，在该时间尺度上仍需偏微分方程描述动态特性，难以与电力系统分析有机融合。面向这一问题，广义电路模型在拉普拉斯域完成了热力流与燃气流的代数化建模，并进一步在网络层面提出了矩阵化建模和边界等值方法。通过拉普拉斯逆变换，我们可以得到在分钟、小时级时间尺度上的气网和热网的全网络和边界端口时域等值模型。

在应用场景上，本文提出的多能源系统广义电路分析理论主要适用于以“电”为中心的多能源系统联合分析与对应分钟、小时级的调度运行优化。多能源网络的广义电路模型用电力研究工作者所熟悉的“电路模型”揭示了异质能量流的共性，能够促进电力系统对其他能源系统的理解。广义电路模型中的边界端口等值模型有明确的物理意义，使得电力系统在调度优化中能够量化运行计划对外部系统的影响，同时明确外部能源网络传输特性对电力系统带来的影响。此外，基于广义电路模型中的边界端口等值模型进行信息交互可以避免提供具体管道数据，从而很好地保护各个系统的数据隐私，同时减少信息交互量与多能源协同计算量。

c）广义电路分析理论的可扩展性

本文提出的广义电路模型可应用于气网、热网以外的部分能源网络建模，所提出的拉普拉斯域代数化分析法、矩阵化建模与边界等值方法也可以扩展至其他能源网络。是否能拓展的判断依据是：该能源网络中的强度量与广延量之间是否能够采用偏微分方程进行描述。具体分析中，需要先根据研究对象满足的边界条件进行分类，例如研究热网中的水力流和氢气传输网络的压力与流量变化关系应在第一类边界条件下进行建模分析，研究石油管网、蒸汽热网甚至煤炭运输网络的传输时延与损耗可在第二类边界条件下进行建模分析。

目前，广义电路分析理论分析需要满足一定的前提假设，相比于实际物理系统而言会产生一些误差。突破这些前提假设是该理论进一步扩展、进一步提高普适性的关键。例如目前的前提假设保证了各能源网络是线性时不变系统，那么当热网处于流量可变的“质量调节”模式、气网的控制阀门调节时，广义电路将成为时变电路，是否可以借鉴时变电路的分析方法进行拓展？再例如目前气网忽略了管道高度，因此燃气流量完全由管道压力差驱动，那么是否可以把管道高度差对流量的影响建模为电流源等有源元件？这些问题都值得进一步深入研究。

再次感谢审稿专家以严谨的科学精神对我们研究工作提出的深入讨论意见。希望今后此项研究工作继续得到包括审稿人在内的专家的指导。

参考文献

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编委会

紫金论电

MPCE

多能源网络的广义电路分析理论——（二）网络模型

摘要

关键词

0 引言

1 基于矩阵的多能源网络广义电路建模

1.1　第一类边界条件

1.2　第二类边界条件

2 全网络广义电路模型的边界等值方法

2.1　第一类边界条件下的边界等值方法

2.2　第二类边界条件下的边界等值方法

3 热网广义电路模型与分析方法

3.1　热网基本结构

3.2　热网全网络广义电路模型

3.3　热网换热器建模

3.4　热网边界等值方法

4 气网广义电路模型与分析方法

4.1　气网基本结构

4.2　气网全网络广义电路模型

4.3　气网边界等值方法

5 算例分析

5.1　热网建模与等值

5.2　气网建模与等值

6 结语

致谢

附录

附录A

附录B 讨论

参考文献

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多能源网络的广义电路分析理论——（二）网络模型

摘要

关键词

0 引言

1 基于矩阵的多能源网络广义电路建模

1.1 第一类边界条件

1.2 第二类边界条件

2 全网络广义电路模型的边界等值方法

2.1 第一类边界条件下的边界等值方法

2.2 第二类边界条件下的边界等值方法

3 热网广义电路模型与分析方法

3.1 热网基本结构

3.2 热网全网络广义电路模型

3.3 热网换热器建模

3.4 热网边界等值方法

4 气网广义电路模型与分析方法

4.1 气网基本结构

4.2 气网全网络广义电路模型

4.3 气网边界等值方法

5 算例分析

5.1 热网建模与等值

5.2 气网建模与等值

6 结语

致谢

附录

附录A

附录B 讨论

参 考 文 献

1.1　第一类边界条件

1.2　第二类边界条件

2.1　第一类边界条件下的边界等值方法

2.2　第二类边界条件下的边界等值方法

3.1　热网基本结构

3.2　热网全网络广义电路模型

3.3　热网换热器建模

3.4　热网边界等值方法

4.1　气网基本结构

4.2　气网全网络广义电路模型

4.3　气网边界等值方法

5.1　热网建模与等值

5.2　气网建模与等值

参考文献