基于全阶模型的直驱风电机组多时间尺度等效惯量机理建模

姜继恒; 鲁宗相; 乔颖; 李佳明; 程艳; 关逸飞; 汪挺; JIANG Jiheng; LU Zongxiang; QIAO Ying; LI Jiaming; CHENG Yan; GUAN Yifei; WANG Ting

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基于全阶模型的直驱风电机组多时间尺度等效惯量机理建模

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1. 电力系统及发电设备控制和仿真国家重点实验室(清华大学),北京市 100084； 2. 国网山东省电力公司电力科学研究院,山东省济南市 250003； 3. 国网山东省电力公司,山东省济南市 250000

最近更新：2024-04-11

DOI：10.7500/AEPS20230803004

目录contents

摘要

构建风电机组的等效惯量模型是开展风电场暂态支撑定量分析与优化控制工作的关键基础，在转动惯量降低、频率特性劣化的高比例可再生能源电网场景下尤其关键。然而，现有模型研究往往结合分析目标侧重若干环节而未能建立全环节的完整模型，也未能揭示不同时间尺度降阶模型与计算精度的关系。首先，以直驱风电机组为对象，在对比风电等效惯量与同步机惯量在机理和实现方式等方面差异的基础上，分析了机械、控制、电气等环节对风电等效惯量的动态影响，建立了风电机组的频率响应全阶模型。然后，基于奇异摄动理论推导了考虑不同时间尺度动态的等效惯量降阶模型，应用瓦西里耶娃理论推导了误差与模型时间尺度之间的关系。最后，采用电磁暂态仿真算例验证了全阶机理模型的有效性及不同降阶模型的精度水平。

关键词

风电机组; 等效惯量; 多时间尺度; 奇异摄动; 降阶模型; 瓦西里耶娃理论

0 引言

风、光电源等基于逆变器的资源（inverter-based resource,IBR）大规模并网，极大改变了系统惯量、频率特性，出现了新型逆变器驱动的系统稳定问题^［

1］。另外，新能源电源对火电机组的替代效应使得系统调节资源减少，亟需新能源机组提供暂态支撑能力。中国最新风电并网标准中明确要求，以永磁直驱风电机组为代表的新能源电源应具备惯量响应和调频功能^{［参考文献 2

百度学术}2］。因此，模拟惯量资源将与同步发电机、同步调相机、异步电机等旋转惯量资源共同为系统提供“广义惯量”支撑^{［参考文献 3

百度学术}3］。构建新能源等效惯量模型成为开展其支撑特性定量分析与优化控制工作的关键基础。风电机组的等效惯量是其在系统频率变化趋势激励下对冲有功不平衡能力的量度，由设备气动、机械、电气、测控等多环节控制策略共同作用，且不同时间尺度下的动态特性迥异，如何综合全环节进行等效惯量建模并按不同时间尺度标准实现模型简化，是极具挑战的难题。

目前，新能源电源等效惯量建模已开展大量研究。研究聚焦于机械环节、有功指令环等慢时间尺度环节，构建了低阶频率响应、惯量模型^［

4-5］，可用于风电极限功率求解^{［参考文献 6

百度学术}6］、机组有功环策略设计^{［参考文献 7

百度学术}7］和系统秒级以上的频率分析^{［参考文献 8

百度学术}8］。纳入电气、控制环节模型^{［参考文献 9-11}9-11］后，变流器等效内电势矢量建模也被用于双馈风电机组在有功外环^{［参考文献 12

百度学术}12］、直流电压^{［参考文献 13

百度学术}13］、交流电流^{［参考文献 14

百度学术}14］等时间尺度上的等效惯量分析。但这些研究未计入锁相环（phase lock loop，PLL）的影响，也未考虑附加频率控制、机械动态等环节的影响，对惯量特性分析不完整。文献［15］结合内电势运动方程和附加功率控制环建立了双馈风电机组的低阶频率响应函数，但仍然忽略了PLL、电压控制环、桨距角动态，模型精度有待提高。当进行PLL主导的同步稳定分析时，可在忽略机械等环节动态的条件下得到变流器的惯量表征^{［参考文献 16

百度学术}16］，但仍然是针对特定场景的简化等效模型。可以看出，已有研究均无法给出考虑全环节的统一建模方法，在未严格论证环节、变量选择合理性的前提下直接构建简化模型，缺乏理论基础和精度保障。

IBR多时间尺度特性建模也是研究热点，主流的思路是基于奇异摄动理论进行风电、储能模型降阶^［

17］，并将模型用于仿真计算^{［参考文献 18

百度学术}18］、控制优化^{［参考文献 19

百度学术}19］和稳定性分析^{［参考文献 20

百度学术}20］。但新能源电源等效惯量的多时间尺度建模是个新问题，相关工作开展甚少。上述新能源电源惯量建模研究^{［参考文献 10-16}10-16］大多涉及降阶简化，但降阶过程中均未给出严谨的时间尺度选择和变量简化判据，导致结果误差较大。

此外，也有研究基于实测数据辨识进行等效惯量评估^［

21］。该方法可在参数未知时求解风电惯量，较机理分析方法更适合在线快速计算，但数据辨识法面临电网扰动事件难以获取、二阶模型强假设的适用性差、低信噪比条件下计算误差大^{［参考文献 3

百度学术}3］等问题。而惯量机理分析方法的结果可解释性强，可从理论上揭示新能源惯量的动力学机理，且能够为数据辨识方法提供模型结构等必要信息。本文所提基于降阶的惯量建模方法可在机组特性研究阶段应用于各类扰动工况分析。

本文构建了面向电网频率分析的新能源等效惯量机理模型。首先，以直驱风电机组为对象，对机械、电气、测量、控制多环节动态完整建模，以机端频率-输出电磁功率为输入-输出量，构建开环全阶惯量机理模型。然后，通过模态分析将惯量作用路径中的状态量分为慢、混合动态、较快、快和超快5个时间尺度，基于奇异摄动法推导不同时间尺度下的等效惯量降阶形式，并应用瓦西里耶娃定理推导了误差与模型时间尺度之间的关系。最后，基于电磁暂态（electromagnetic transient，EMT）仿真算例验证了全阶机理模型的有效性及不同降阶模型的精度水平。

1 直驱风电机组等效惯量特性分析

1.1　等效惯量的概念及数学表征

惯量常用于描述系统有功功率-频率动态特性，表征系统在有功功率不平衡时维持频率不变/抵抗频率变化的能力。不同惯量资源的特性和模型不同。同步机的惯量响应功率等于转子动能释放功率，若忽略调速器和汽轮机的滞后效应，其频率响应模型可表示如下：

\{\begin{array}{l} \frac{d Δ f_{C O I} (t)}{d t} = \frac{Δ P (t)}{2 H_{s g}} \\ Δ P (t) = - [Δ P_{L} + (K_{s g} + D_{s g} + D_{L}) (f_{C O I} - f_{C O I, 0})] \end{array}

（1）

式中：“ $Δ$ ”表示变量的增量； $f_{C O I}$ 为系统频率； $P (t)$ 为系统有功功率； $H_{s g}$ 为系统等效惯量时间常数； $P_{L}$ 为系统负荷； $K_{s g}$ 为调速器下垂系数； $D_{s g}$ 为同步机阻尼系数； $D_{L}$ 为负荷阻尼系数； $f_{C O I, 0}$ 为频率初始值。

对于依赖PLL同步的跟网型直驱风电机组，其等效惯量可描述为单位频率变化率对应的惯量响应功率。线性化条件下，可用惯量响应功率与机端频率的频域关系表征，如式（2）所示。

Δ P_{H} (s) = - M_{e q} (s) s Δ f (s)

（2）

式中： $P_{H} (s)$ 为惯量响应功率； $f (s)$ 为系统频率； $s$ 为拉普拉斯算子； $M_{e q} (s)$ 为惯量的频域表征式，简称等效惯量模型，即本文的建模结果。

式（2）反映了惯量响应功率与机端频率的动力学关系，由附加有功控制等环节决定。风电进行惯量响应的能量来源包括转动部件动能、降载备用能量和直流电容能量等形式。其中，主轴动能是惯量响应能量的主体，降载备用能量由惯量响应阶段的快速变桨提供。本文建模过程包括快速变桨控制，直流电容能量一般可在工程计算中予以忽略。综上可知，风电等效惯量与同步机转动惯量的主要差异为：同步机的惯量可以直接表征额定状态下的转动动能，而风电的等效惯量仅表征动力学关系，无法反映机组的存储能量水平，风电的惯量响应功率与主轴等储能元件的能量变化率并不严格相等。考虑到系统频率动态与风电惯量响应功率的动态强相关，本文从动力学关系角度构建风电等效惯量模型。

为了简化分析，本文定义风电机组的频率响应总功率由惯量响应功率与恒定参数下垂环节支撑功率两部分组成。下垂环节不引入新的阶次，也可理解为风电机组对频率的阻尼作用。在风速恒定的假设下， $Δ P_{H}$ 如式（3）所示。

Δ P_{H} = Δ P_{f r} + K_{e q} Δ f

（3）

式中： $P_{f r}$ 为风电机组频率响应功率； $K_{e q}$ 为风电机组下垂系数，该值可在采用频率阶跃信号的机组快频响应测试中，通过计算机端有功增量稳定值和频差的比值获得。

式（2）中的 $M_{e q} (s)$ 描述了频率-有功功率因果系统的频域等效惯量。由卷积定理和冲激函数的性质可知，在零状态下，当机端频率为单位阶跃函数时，设备在各时刻的等效惯量水平的数值等于该时刻惯量响应功率的数值。基于该特性可进行风电机组等效惯量水平的工程化测量。在风电机组/场的快速频率响应性能测试中，当机端注入模拟的阶跃频率信号时，采集机端增发有功功率，按照式（3）计算机端惯量响应功率，完成等效惯量测量。

此外，构网型风电机组的等效惯量与同步机的有功功率-频率因果系统类似，对其进行惯量机理分析时也可按照本文的相关环节分析、物理建模、简化降阶、误差分析等步骤进行。

1.2　风电机组等效惯量的相关环节分析

当同步机的原动机、发电机轴系采用单体模型时，同步机惯性矩仅由轴系质量和分布决定，其惯量是时不变定常参数。因此，惯量环节对转子电气角速度的动态具有机电时间尺度的单一模态影响，系统频率动态的时间常数 $T$ 如式（4）所示。

T = \frac{2 H_{s g}}{K_{s g} + D_{s g} + D_{L}}

（4）

风电机组的等效惯量 $M_{e q} (s)$ 包含了控制、机械、电气等多时间尺度环节的特性，在“机端频率信号-机端功率”的传递路径中，PLL、频率滤波、变流器控制、永磁同步电机、风轮桨叶等部分的动态特性均对其产生影响，如图1所示。

图1 风电机组频率-有功功率回路结构示意图

Fig.1 Schematic diagram of frequency-active power loop structure for wind turbines

当系统出现阶跃型有功功率不平衡量时，各节点的频率过程包含多个模态的分量^［

22］，系统频率安全分析主要考虑其主模态分量（或惯性中心频率）的变化过程，传统的系统频率响应模型依然有效。频率主模态分量的时间尺度可用式（4）来近似衡量，式中的惯量、调频、阻尼系数为按照容量的加权值。下文分析中将证明风电机组大部分环节与主模态频率分量的时间尺度差异较大，可以通过降阶的方式进行模型简化。

2 直驱风电机组频率响应全阶建模

本文选择主流直驱风电机组进行全阶建模，推导风电参与系统频率响应的动态模型，其基本结构、控制方式以及模型物理量正方向如图2所示，相关控制方式、结构类型见附录A表A1。

图2 直驱风电机组结构示意图

Fig.2 Schematic diagram of structure of direct-drive wind turbines

图2中网侧变流器的内环、外环控制部分的变量说明见附录B。对风电机组各环节构建局部线性化模型，基于环节间的连接关系给出整机全阶模型，得到描述网侧频率-输出有功功率的传递函数。如无特殊说明，本文的电气量均在机组网侧锁相的dq轴坐标系和标幺值系统下表示，下标“0”表示变量的初值，模型中的动态方程均以频域形式表示。

由于是机理性建模，本文方法可适用于基于锁相同步的各类直驱、半直驱和双馈风电机组，应用时只需在物理建模时选择并网点频率-有功功率回路的环节，对不同环节修正动态模型即可，模型简化可直接使用本文方法。

2.1　PLL动态模型

忽略机端电压幅值变化，PLL的局部线性化模型如式（5）所示，具体推导过程见附录B。

\{\begin{array}{l} s Δ x_{p l l} = k_{i p} (V_{t 0} Δ f_{V} - V_{t 0} Δ f_{p l l}) \\ s Δ f_{p l l} = k_{p p} (V_{t 0} Δ f_{V} - V_{t 0} Δ f_{p l l}) + Δ x_{p l l} \end{array}

（5）

式中： $x_{p l l}$ 为PLL中间积分量； $f_{V}$ 为并网点频率，是本文全阶建模的输入量； $f_{p l l}$ 为锁相频率，与锁相坐标系的电气角速度数值相等； $k_{p p}$ 和 $k_{i p}$ 分别为PLL的比例、积分系数； $V_{t}$ 为机端电压幅值。

暂态过程中，风电机组并网点瞬时频率与同步机内电势频率、风电PLL锁相频率均不相等，本文参考文献［

23］的方法，利用式（6）计算风电并网点瞬时频率

f_{V}

。

f_{V} = \frac{1}{2 π} (\frac{d}{d t} a r c t a n (\frac{v_{t q}}{v_{t d}}) + ω_{g N} ω_{p l l})

（6）

式中： $v_{t d}$ 、 $v_{t q}$ 分别为机端电压在锁相坐标下的d、q轴分量； $ω_{p l l}$ 为锁相坐标系的电气角速度； $ω_{g N}$ 为系统额定电气角速度有名值。

2.2　机械环节动态模型

机械环节主要由风轮叶片与发电机组成的轴系构成，单质量块模型下的轴系动态、桨距角控制动态、气动功率模型分别如式（7）—式（9）所示，限于篇幅，此处直接给出小信号模型。

s Δ ω_{w} = \frac{1}{2 H_{w} ω_{w 0}} (Δ P_{w m} + Δ P_{m e g}) - \frac{P_{w m 0} + P_{m e g 0}}{ω_{w 0}^{2}} Δ ω_{w} - K_{w D} Δ ω_{w}

（7）

\{\begin{array}{l} s Δ x_{b e t a 1} = k_{i 1} (Δ P_{o} - Δ P_{o r e f} - Δ P_{f r}) \\ Δ β = k_{p 1} (Δ P_{o} - Δ P_{o r e f} - Δ P_{f r}) + Δ x_{b e t a 1} + \\ k_{p 2} (Δ ω_{w} - Δ ω_{w r e f}) \end{array}

（8）

\begin{array}{l} Δ P_{w m} = \frac{ρ π R^{2} v_{w 0}^{2}}{2 P_{b a s e}} [ω_{w N} \frac{\partial C_{P}}{\partial ω_{w}^{S I}} Δ ω_{w} + \frac{\partial C_{P}}{\partial β} Δ β + \\ (\frac{2 C_{P 0}}{v_{w 0}} + \frac{\partial C_{P}}{\partial v_{w}}) Δ v_{w}] \end{array}

（9）

式中： $ω_{w}$ 为主轴转速； $H_{w}$ 为轴系惯量时间常数； $P_{w m}$ 为风轮捕获功率； $P_{m e g}$ 为永磁同步电机的电磁功率； $K_{w D}$ 为轴系阻尼系数； $x_{b e t a 1}$ 为桨距角控制的积分状态量； $β$ 为桨距角； $k_{i 1}$ 、 $k_{p 1}$ 、 $k_{p 2}$ 为桨距角控制系数； $P_{o}$ 为整机输出有功功率； $P_{o r e f}$ 为整机参考有功功率，无降载时 $P_{o r e f} = 1$ ； $ω_{w r e f}$ 为转速参考值； $ρ$ 为空气密度； $R$ 为风轮叶片半径； $P_{b a s e}$ 为机组额定功率有名值； $ω_{w N}$ 为额定机械转速有名值； $v_{w}$ 为平均风速； $C_{P}$ 为气动功率系数，具体形式见文献［

7］；

ω_{w}^{S I}

为主轴转速的有名值。

2.3　功率控制环动态模型

功率控制环根据轴系转速、机端测量频率形成有功功率参考值，传递至机侧变流器电流内环，最大功率跟踪值、频率响应功率增量、总有功功率参考值和机侧q轴电流参考值的小信号模型如式（10）—式（13）所示。

Δ P_{m p p t} = \{\begin{array}{l} 3 k_{o p t} ω_{w 0}^{2} Δ ω_{w}^{} ω_{m i n}^{} < ω_{w}^{} < ω_{m a x}^{} \\ 0 ω_{w}^{} \geq ω_{m a x}^{} \end{array}

（10）

\{\begin{array}{l} s Δ x_{f r} = \frac{1}{T_{f r}} (Δ f_{p l l} - Δ x_{f r}) \\ Δ P_{f r} = - (k_{d r} - \frac{k_{h}}{T_{f r}}) Δ x_{f r} - \frac{k_{h}}{T_{f r}} Δ f_{p l l} \end{array}

（11）

Δ P_{m e r e f} = Δ P_{m p p t} + Δ P_{f r}

（12）

Δ i_{m q r e f} = \frac{P_{m e r e f 0}}{ψ ω_{w 0}^{2}} Δ ω_{w}^{} - \frac{1}{ψ ω_{w 0}^{}} Δ P_{m e r e f}

（13）

式中： $ω_{m a x}^{}$ 和 $ω_{m i n}^{}$ 分别为 $ω_{w}^{}$ 的最大、最小值； $P_{m p p t}$ 为最大功率跟踪功率； $x_{f r}$ 为频率滤波值； $k_{o p t}$ 为变转速运行区间的最大功率跟踪系数； $T_{f r}$ 为频率滤波系数； $k_{d r}$ 为下垂控制系数； $k_{h}$ 为虚拟惯量系数； $P_{m e r e f}$ 为机侧变流器参考功率； $i_{m q r e f}$ 为机侧q轴电流参考值； $ψ$ 为永磁体磁链。

$T_{f r}$ 包含了频率测量滤波效果和 $Δ f_{p l l}$ 到功率增量的滤波效应，后者是为了避免机组过快释放旋转动能带来的载荷急剧变化。

2.4　电气量及控制环节模型

本文的永磁同步电机、直流电容、机侧变流器控制、网侧变流器控制、网侧交流电路模型为常见形式，详见附录B。

2.5　系统全阶模型

联立2.1节至2.4节模型，假设机组的有功功率参考值和转速参考值不变，省略 $Δ P_{o r e f}$ 和 $Δ ω_{w r e f}$ 项，得到直驱风电机组的全阶模型，如式（14）所示。

\{\begin{array}{l} [\begin{matrix} s Δ X \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{X X} & A_{X Z} \\ A_{Z X} & A_{Z Z} \end{matrix}] [\begin{matrix} Δ X \\ Δ Z \end{matrix}] + [\begin{matrix} B_{X U} \\ B_{Z U} \end{matrix}] Δ U \\ Δ Y = [\begin{matrix} C_{Y X} & C_{Y Z} \end{matrix}] [\begin{matrix} \begin{matrix} Δ X \\ Δ Z \end{matrix} \end{matrix}] + D_{Y U} Δ U \end{array}

（14）

该模型包括含有16个状态变量的 $Δ X$ 、含有17个中间代数量的 $Δ Z$ 、含有4个输入量的 $Δ U$ 和1个输出量 $Δ Y$ ，可分别表示为：

\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} Δ X = [Δ x_{p l l}, Δ f_{p l l}, Δ ω_{w}^{}, Δ x_{b e t a 1}, Δ x_{f r}, Δ i_{m d}, Δ i_{m q}, \\ Δ U_{d c}, Δ x_{m 1}, Δ x_{m 2}, Δ x_{i g 1}, Δ x_{i g 2}, \\ Δ x_{e g d}, Δ x_{e g q}, Δ i_{g d}, Δ i_{g q}]^{T} \end{array} \\ \begin{array}{l} Δ Z = [Δ P_{w m}, Δ P_{m e g}, Δ P_{o}, Δ P_{f r}, Δ β, Δ P_{m p p t}, Δ P_{m e r e f}, \\ Δ i_{m q r e f}, Δ P_{m e}, Δ P_{g e}, Δ u_{m d}, Δ u_{m q}, \\ Δ i_{g d r e f}, Δ i_{g q r e f}, Δ e_{g d}, Δ e_{g q}, Δ V_{t}]^{T} \end{array} \\ Δ U = [Δ v_{w}, Δ f_{V}, Δ v_{t d}, Δ v_{t q}]^{T} \\ Δ Y = Δ P_{o} \end{array}

（15）

式中： $i_{m d}$ 和 $i_{m q}$ 分别为转子电流的d、q轴分量； $U_{d c}$ 为电容电压； $x_{m 1}$ 、 $x_{m 2}$ 为机侧变流器控制积分量； $x_{i g 1}$ 、 $x_{i g 2}$ 为网侧变流器电压外环控制积分量； $x_{e g d}$ 和 $x_{e g q}$ 分别为网侧变流器电流内环控制积分的d、q轴分量； $i_{g d}$ 和 $i_{g q}$ 分别为网侧交流电流的d、q轴分量； $P_{g e}$ 和 $P_{m e}$ 分别为网侧、机侧变流器与电容间的功率； $u_{m d}$ 和 $u_{m q}$ 分别为永磁同步电机机端电压的d、q轴分量； $i_{g d r e f}$ 和 $i_{g q r e f}$ 分别为网侧变流器d、q轴电流参考值； $e_{g d}$ 和 $e_{g q}$ 分别为网侧变流器交流侧端口电压的d、q轴分量。

对式（14）利用舒尔补消去中间代数变量，得到全阶状态空间模型，如式（16）所示。可以证明，式（14）中的 $A_{Z Z}$ 为非奇异矩阵，分析过程见附录C。

\{\begin{matrix} \begin{array}{l} s Δ X = (A_{X X} - A_{X Z} A_{Z Z}^{- 1} A_{Z X}) Δ X + \\ (B_{X U} - A_{X Z} A_{Z Z}^{- 1} A_{Z U}) Δ U ≜ A_{s s} Δ X + B_{s s} Δ U \end{array} \\ \begin{array}{l} Δ Y = (C_{Y X} - C_{Y Z} A_{Z Z}^{- 1} A_{Z X}) Δ X + \\ (D_{Y U} - C_{Y Z} A_{Z Z}^{- 1} B_{Z U}) Δ U ≜ C_{s s} Δ X + D_{s s} Δ U \end{array} \end{matrix}

（16）

式中： $A_{X X}$ 、 $A_{X Z}$ 、 $A_{Z Z}^{}$ 、 $A_{Z X}$ 、 $B_{X U}$ 、 $A_{Z U}$ 、 $A_{s s}$ 、 $B_{s s}$ 、 $C_{Y X}$ 、 $C_{Y Z}$ 、 $D_{Y U} 、 B_{Z U} 、 C_{s s} 、 D_{s s}$ 为系数矩阵，具体形式见附录D。

基于状态空间模型向传递函数的转换方法，可以得到零状态和机端开环条件下的机组有功功率增量与输入量之间的关系。输入量包括机端电压在网侧PLL坐标下的d、q轴分量，其小信号量包含外网电压幅值动态和PLL动态，并不属于严格的外部动态，但本文主要关注频率动态过程， $Δ P_{o} 至 Δ v_{t d}$ 和 $Δ P_{o} 至 Δ v_{t q}$ 的传递路径并非本文研究重点，暂不进行过多推导。

3 基于奇异摄动的多时间尺度惯量降阶模型

3.1　模型降阶等效性论证

本文应用奇异摄动方法进行风电机组频率响应的多时间尺度降阶建模。首先，将系统变量分为快动态变量 $X_{f}$ 和慢动态变量 $X_{s}$ 两组，从而建立系统原型方程，如式（17）所示。

\{\begin{array}{l} ε \frac{d X_{f}}{d t} = F (X_{f}, X_{s}, t) X_{f} (0, ε) = X_{f 0}^{} \\ \frac{d X_{s}}{d t} = f (X_{f}, X_{s}, t) X_{s} (0, ε) = X_{s 0}^{} \end{array}

（17）

式中： $F (\cdot)$ 为快动态变量的状态方程； $f (\cdot)$ 为慢动态变量的状态方程； $ε$ 为摄动参数，满足 $0 \leq ε ≪ 1$ 。

式（16）中的输入量 $Δ U$ 可转化为时间 $t$ 的函数，因此，式（16）关于 $Δ X$ 的全阶模型形式与原系统式（17）一致。

吉洪诺夫极限定理给出了式（17）存在极限解且与退化微分-代数方程组等效的条件^［

24］，全阶模型式（16）只需判断其是否满足稳定性条件即可，条件的完整形式及分析过程见附录C。

降阶判据（稳定性条件）：函数 $F$ 关于快动态变量在轨迹任一点的雅可比矩阵的所有特征值 $λ_{i}$ 满足 $R e λ_{i} (t) < 0$ 。

若满足以上条件，式（17）中 $ε \to 0$ 的极限解 $X_{f} (t, ε)$ 和 $X_{s} (t, ε)$ 等于如（18）所示的降阶系统（或称退化系统）的解 ${\tilde{X}}_{f} (t)$ 和 ${\tilde{X}}_{s} (t)$ 。

\{\begin{array}{l} 0 = F (X_{f}, X_{s}, t) \\ \frac{d X_{s}}{d t} = f (X_{f}, X_{s}, t) X_{s} (0, ε) = X_{s 0}^{} \end{array}

（18）

当上述条件满足时，原系统平衡点处的小干扰稳定性与降阶系统变量稳定性一致^［

25-26］。

降阶系统中，由代数方程 $0 = F (X_{f}, X_{s}, t)$ 决定的集合称为原系统（关于快动态）的约束流形。当摄动参数接近0时，原系统的动态过程可以用约化到约束流形上的降阶系统进行近似。

3.2　时域误差分析

吉洪诺夫定理给出了原系统是否可以降阶的判据。本文基于瓦西里耶娃定理^［

27］，利用范数三角不等式和Hölder不等式离散形式，推导了降阶系统式（18）计算结果的误差形式，如式（19）所示，推导过程详见附录C。

\begin{array}{l} P_{O} (t, ε) - {\tilde{P}}_{O} (t) \leq ‖P_{O} (t, ε) - {\tilde{P}}_{O} (t)‖ = \\ ‖C_{s s}^{r o} X_{f} (t, ε) - C_{s s}^{r o} {\bar{X}}_{f 0} (t)‖ \leq ‖C_{s s}^{r o}‖ ‖X_{f} (t, ε) - \\ {\bar{X}}_{f 0} (t)‖ \leq ‖C_{s s}^{r o}‖ (c ε + δ) = \\ m a x (|v_{t d 0}|, | v_{t q 0} |) (c ε + δ) ε τ_{0} (δ) \leq t \leq T \end{array}

（19）

式中： $P_{O} (t, ε)$ 、 ${\tilde{P}}_{O} (t)$ 分别为全阶模型和降阶模型下求解的有功功率； $C_{s s}^{r o}$ 为输出-状态量矩阵中删除慢动态变量元素的降阶矩阵； $‖C_{s s}^{r o}‖$ 为取其最大绝对值元素的数值； ${\bar{X}}_{f 0} (t)$ 为慢动态变量边界层函数的首项； $c$ 和 $δ$ 为误差项表达式中的系数； $τ_{0} (δ)$ 为时间常数。

尽管瓦西里耶娃并未给出常数 $c$ 和 $δ$ 的具体数值，但由式（19）可以看出， ${\tilde{P}}_{O} (t)$ 的最大绝对误差的数学形式是 $ε$ 的一次函数形式。在进行风电机组的降阶建模时，具体阶数和 $ε$ 需要人为给定，在工程分析中可结合式（19）估计不同精度要求下的 $ε$ 数值和阶数。

3.3　风电机组快慢动态划分

以特征根的自然频率为时间尺度标准划分分辨快、慢动态变量^［

18］。以直驱风电机组为例，参数见附录A表A2，计算机组的特征值和相关因子，结果如附录A表A3所示。从特征根分布可以得到各类状态变量的时间尺度分类，如表1所示。

表1 直驱风电机组状态量时间尺度分类

Table 1 Time-scale classification of states of direct-drive wind turbines

时间尺度分类	状态变量	主导环节	时间尺度/s
慢动态	$x_{b e t a 1}$ 、 $ω_{w}$ 、 $x_{f r}$	机械环节、频率测量	0.6~4.0
慢-较快混合动态	$x_{p l l}$ 、 $f_{p l l}$	PLL环节	0.02~0.28
较快动态	$x_{i g 1}$ 、 $x_{i g 2}$ 、 $x_{e g q}$ 、 $i_{m d}$ 、 $x_{m 1}$ 、 $x_{e g d}$ 、 $i_{m q}$ 、 $x_{m 2}$	电气、控制环节	0.017~0.027
快动态	$U_{d c}$	电容电压	0.003
超快动态	$i_{g d}$ 、 $i_{g q}$	RL交流电流	0.000 5

由表1可知，桨距角控制、主轴和频率测量滤波环节的变量时间尺度大于0.59 s，属于慢动态主导环节，PLL的积分量和锁相频率动态产生两个特征值，时间尺度分别约为0.018 s和0.23 s，引入了混合动态。剩余的状态变量均由电气环节和控制环节主导，时间尺度均在0.02 s以下，属于小时间尺度动态。

从表1可以看出，以 $i_{g d}$ 、 $i_{g q}$ 为状态量的网侧电感磁场能， $U_{d c}$ 对应的电容电场能和 $i_{m d}$ 、 $i_{m q}$ 对应的转子等效电感磁场能的水平较小，对等效惯量的贡献较少，而 $ω_{w}$ 对应的主轴旋转动能和桨距角相关的降载能量是支撑风电进行惯量响应的主要能量。综上所述，与同步机相比，风电等效惯量的相关物理量具有多个时间尺度，所对应的能量水平也不同，如图3所示。

图3 风电机组与同步机惯量时间尺度对比

Fig.3 Comparison of inertia time scales between wind turbine and synchronous generator

一般而言，现阶段的互联交流电网的频率主模态时间尺度按式（4）计算（如典型值 $H_{s g} = 5$ 、 $K_{s g} = 20$ $、 D_{s g} = 0.5 、 D_{L} = 1$ ^［

28］），大约为0.1~1 s级。风电机组中慢动态和混合动态5个状态变量的时间尺度与主模态时间尺度接近，而其他变量将在边界层内快速收敛至约束流形。该过程也说明了降阶处理不能以独立环节的时间尺度为判断依据，如

x_{p l l}

和

f_{p l l}

对应的独立环节时间尺度分别为1/600 s和1/60 s，远小于频率主模态时间尺度，但其却对机组频率响应功率有直接影响。

3.4　多时间尺度惯量机理模型

汇总以上分析，总结不同时间尺度下需要考虑的环节和相关变量，给出对应的频率响应和等效惯量模型的基本形式，如表2所示。其中，公式中各系数形式见附录E，推导过程见附录F。

表2 不同时间尺度下的等效惯量模型

Table 2 Equivalent inertia models of different time scales

关注时段	主要环节	相关状态变量	频率响应模型	等效惯量模型	阶数
>0.2 s	机械、频率测量、PLL	$x_{b e t a 1}$ , $ω_{w}$ , $x_{f r}$ , $x_{p l l}$ , $f_{p l l}$	$\begin{array}{l} G_{f r - 5} = \\ \frac{D_{4} s^{4} + D_{3} s^{3} + D_{2} s^{2} + D_{1} s + D_{0}}{E_{5} s^{5} + E_{4} s^{4} + E_{3} s^{3} + E_{2} s^{2} + E_{1} s + E_{0}} \end{array}$	$\begin{array}{l} M_{e q - 5} = \\ - \frac{F_{5} s^{5} + F_{4} s^{4} + F_{3} s^{3} + F_{2} s^{2} + F_{1} s + F_{0}}{E_{5} s^{6} + E_{4} s^{5} + E_{3} s^{4} + E_{2} s^{3} + E_{1} s^{2} + E_{0} s} \end{array}$	5
>0.6 s	机械、频率测量	$x_{b e t a 1}$ , $ω_{w}$ , $x_{f r}$	$G_{f r - 3} = \frac{M_{3} s^{3} + M_{2} s^{2} + M_{1} s + M_{0}}{N_{3} s^{3} + N_{2} s^{2} + N_{1} s + N_{0}}$	$M_{e q - 3} = - \frac{O_{3} s^{3} + O_{2} s^{2} + O_{1} s + O_{0}}{N_{3} s^{4} + N_{2} s^{3} + N_{1} s^{2} + N_{0} s}$	3
>4 s	机械环节	$x_{b e t a 1}$ , $ω_{w}$	$G_{f r - 2} = \frac{M_{3} s^{3} + M_{2} s^{2} + M_{1} s + M_{0}}{R_{2} s^{2} + R_{1} s + R_{0}}$	$M_{e q - 2} = - \frac{T_{3} s^{3} + T_{2} s^{2} + T_{1} s + T_{0}}{R_{2} s^{3} + R_{1} s^{2} + R_{0} s}$	2

观察模型推导结果可知：

1）频率响应模型的阶数（极点个数）等于保留的状态变量数；

2）仅有5阶、3阶惯量模型为频率-有功功率因果系统，2阶系统变为超前系统；

3）各阶模型计算均需要已知轴系转速、机侧q轴电压、q轴电流和风速的初值（见附录E）；

4）直驱风电机组的等效惯量环节对频率响应模型具有升阶作用，与同步机的定常惯量特性不同；

5）3类简化模型的能量本质均为主轴动能和降载备用能量，磁场能和电场能均忽略不计，且3、5阶模型包含了控制环节对能量释放的影响。

4 仿真计算

搭建如附录G图G1所示的EMT系统进行验证。其中，G1和G2为100 MW煤电机组，其惯量时间常数 $H$ 分别为3.4 s和3.5 s，调差系数均为5%，配置DC1A型励磁系统。风电场G3包括25台容量为2.22 MW的直驱风电机组，考虑到本文重点对单机层面的惯量机理展开研究，为简化聚合计算，本算例按照容量倍乘的方式进行场站等效，风电场中保留了一台直驱风电机组的详细模型。机组变流器短时通流能力为110%的额定电流，机组参数见附录D表D2，叶片入流风速为额定值14.2 m/s，机组降载10%运行。由于本文主要关注扰动后短时的惯量响应和一次调频性能，算例系统暂未包含二次调频环节。仿真中，系统初始负荷为母线3处的负荷1（160 MW），负荷-频率阻尼为16 MW/Hz，所有扰动事件均设置为母线4处负荷2的阶跃突增。EMT仿真环境为Simulink，仿真步长为100 μs，为避免器件开断引起的高频谐波，风电机组变流器模块采用平均值模型构建。

4.1　系统动态过程分析

本节对扰动后系统频率和功率过程的EMT仿真结果展开初步分析。当负荷2在1 s发生8 MW（5%总负荷）有功阶跃突增时，各机组频率波形见附录G图G2。其中，风电锁相频率为直驱风电机组PLL的跟踪频率，机端频率按式（6）计算，也是本文模型的频率输入信号。

该扰动下各机组有功功率增量过程如图4所示。扰动发生初期的功率增量能够反映风电与同步机的惯量响应时域差异，扰动初期仅有同步机的惯量响应承担不平衡功率。扰动发生瞬间之后，同步机的惯量响应功率下降，风电机组的有功功率快速增加，在扰动发生4 s后达到有功功率峰值，随后二者均进入原动机动态或有差调节主导的阶段。另外，同步机的惯量响应功率中含有快动态振荡分量，而风电机组经滤波、斜率限制环节实现有功功率的平缓变化，不再含有系统机电振荡的快动态信息。综上，风电机组等效惯量受多个环节共同作用，时域特性与同步机差异明显，尤其是无法替代扰动初期的同步惯量作用。

图4 负荷2发生8 MW扰动时有功功率增量过程

Fig.4 Active power increment process when 8 MW disturbance occurs in load 2

4.2　全阶模型有效性验证

利用风电机组频率响应全阶模型式（14），并忽略网侧d、q轴电压的波动，求解上述扰动后风电机组内各状态量动态过程，并与仿真结果对比，如附录G图G3所示。

由附录G图G3可知，全阶模型在扰动发生0.2 s后的时段中对于慢动态到较快动态这3类状态量的过程具有较精确的计算效果，而对电容电压、网侧交流电流的计算结果则在扰动发生0.4 s之后与仿真结果的误差较小。同时，由于忽略了2 000 Hz以上的动态过程，全阶模型并未反映电容电压和网侧交流电流的初期振荡过程，但这个简化并不会对有功功率-频率的分析精度产生较大影响。需要说明的是，全阶模型对风电机组主轴转速的计算结果在局部时段与仿真结果有偏差，其原因为仿真中风电机组使用三质量块模型，若需进一步提高模型精度，可在全阶模型中将单体轴改为三体轴模型，但相应的模型阶数需要增加2，计算更加复杂。综上，本文所提的全阶模型对各时间尺度动态过程的计算精度满足工程要求。

4.3　各阶简化模型效果验证

按照3.4节提出的5阶、3阶、2阶模型分别推导风电机组频率响应和等效惯量模型的系数，结果如附录G表G1所示，4类模型的特征值分布情况如图5所示。

图5 各阶模型的特征值分布

Fig.5 Distribution of eigenvalues of models with different orders

由附录G表G1和图5可见，在该运行点下，全阶模型满足稳定性条件，可以降阶。3类简化模型的主导特征值均与全阶模型中靠近虚轴的特征根基本重合，3类简化模型的最慢动态对应特征根（局部放大图）相对误差为0.61%。简化模型阶数越高，所覆盖的主导特征根数量越多，能够刻画的参与惯量响应环节数量越多，模型的相位延迟越大，但其计算结果接近真实结果。同时，5阶模型包含了PLL两个状态变量，引入一个距离虚轴较远的混合模态特征根。

采用全阶模型、各降阶简化模型和仿真对比计算风电机组的机端有功功率，如图6所示。从扰动发生后0 s至34 s的全过程来看，全阶模型和3类简化模型均可以较好地刻画风电机组的有功功率响应过程，各模型在30 s后新稳态点下的最大相对误差一致，约为0.30%。此误差可能由未建模的最大功率点跟踪（MPPT）控制、气动功率等非线性环节和变流器器件损耗特性引起。1.5~4.0 s时段内的最大有功功率与频率最低点时段对应，全阶模型和3类简化模型在此时段内误差增大，主要原因为模型中的单轴模型与实际的多轴动态有一定偏差，与附录G图G3（a）的分析一致。

图6 8 MW扰动下各模型的风电机组有功功率

Fig.6 Active power of wind turbines in different models under 8 MW disturbance

从扰动发生初期内的有功功率曲线来看，全阶模型在1.0~1.1 s内几乎无误差地反映有功功率的实际动态。随着模型阶数降低，有功功率计算结果误差越大，且有功功率的首个峰值点时间更短，峰值功率更高。其原因为阶数越低的模型包含的慢动态特征根越少，整体阻尼越小，功率响应更快，故带来了较大误差。

进一步分析不同幅度扰动下各模型的误差水平，设置负荷2发生1.6 MW和16 MW阶跃突增两个扰动场景，模型计算结果如图7和图8所示，细节图分别如附录G图G4和图G5所示。

图7 1.6 MW扰动下各模型的风电机组有功功率

Fig.7 Active power of wind turbines in different models under 1.6 MW disturbance

图8 16 MW扰动下各模型的风电机组有功功率

Fig.8 Active power of wind turbines in different models under 16 MW disturbance

对比图7和图8可知，在系统频率最低点时刻附近，扰动越大，全阶模型和3类简化模型的误差越大，原因为转子动能释放增加，多个轴体之间的转速差异大，导致真实有功功率曲线与单体轴模型结果不一致。而在扰动初期，扰动越大，各阶模型的首个峰值点之间差异越小，如16 MW扰动下，2阶模型和3阶模型的峰值几乎相等。此外，5阶和3阶模型大约在扰动后0.3~0.4 s与全阶模型结果重合，而2阶模型大约在5 s左右与全阶模型结果重合，与表1的时间尺度分类标准相吻合。因此，在研究风电频率响应的全过程特性时，考虑轴系和桨距角动态的2阶模型可满足要求；在研究扰动初期的惯量响应特性时，应尽可能使用高阶模型。

在16 MW扰动下，本文对比了所提模型与3个典型模型的计算精度，如图9所示。除全阶模型外，选择了计算复杂度和精度较为平衡的3阶模型参与对比，对比模型1采用文献［

4］的模型Ⅰ，对比模型2和3分别为文献［8］和文献［10］的方案。显然，全阶模型和3阶模型均比已有文献的机理模型精度更高，主要原因是3个对比模型均只纳入了部分选定环节，对模型的降阶处理仅按独立环节的时间常数对比或工程经验进行，造成过大误差。而本文所提降阶方法遵循严格的尺度分离原则，基于奇异摄动理论进行变量简化，其计算效果明显优于其他模型。

图9 16 MW扰动下本文模型与其他模型的对比

Fig.9 Comparison of proposed model and other models under 16 MW disturbance

4.4　时域误差分析

分别在负荷2处设置1.6、4、8、12、16 MW的阶跃负荷突增扰动 $Δ L$ ，对比分析全阶模型和3类简化模型在不同扰动下扰动后0~3 s内的有功功率的最大绝对误差，误差与各阶模型时间尺度之间的关系如图10所示。全阶模型的时间尺度与网侧交流电流尺度一致，取为0.001 s。

图10 不同扰动下各模型与EMT结果的最大绝对误差随时间尺度的变化趋势（扰动后0~3 s）

Fig.10 Changing trend of the maximum absolute error of each model and EMT result under different disturbances over time scale (0~3 s after disturbance)

由图10可知，模型阶次越低，误差越大；扰动越小，绝对误差与时间尺度之间越接近线性关系，与瓦西里耶娃定理一致。根据EMT结果，式（19）中 $m a x (| v_{t d 0} |, | v_{t q 0} |) = v_{t d 0} = 0.982$ ，线性拟合后的结果如表3所示。该结果可在不同扰动事件下，粗略估算不同精度要求下的模型阶次。另外，各阶模型在扰动后30 s的新稳态阶段的绝对误差基本一致，具体数值如表3所示。

表3 不同扰动下误差与时间尺度关系

Table 3 Relationship between error and time scale under different disturbances

扰动功率/MW	$c$ /(MW·s^-1)	$δ$ /MW	稳态后各阶模型绝对误差/MW
1.6	0.104 4	0.142 7	0.032
4.0	0.238 8	0.357 1	0.080
8.0	0.391 4	0.649 2	0.160
12.0	0.501 6	0.772 1	0.240
16.0	-	-	0.330

4.5　等效惯量量化

对附录G表G1中各阶等效惯量模型注入负的单位阶跃频率（阶跃时刻为1 s），得到不同阶模型在各时刻的惯量响应功率，其数值为机组等效惯量水平的时序曲线，如图11所示。

图11 不同模型求解的风电机组等效惯量水平

Fig.11 Equivalent inertia levels for wind turbines derived from different models

由图11可知，全阶和5阶模型结果一致，惯量水平与时间呈线性关系。2阶、3阶模型得到的等效惯量水平随时间呈微弱的非线性变化。该结果反映了在式（2）定义下风电机组等效惯量水平的时变特性和扰动初期的弱惯量特性。需要说明的是，此处的结果与扰动大小无关，仅由风电机组的参数和初始运行点决定。可以猜想，等效惯量主要反映机组在频率变化中的有功功率动态特性，该方法得到的等效惯量水平在扰动发生时刻附近具有较好的表征作用，下文分析也将证明该猜想。图11中的总转动惯量以100 MW为基准容量计算获得，两台同步机的聚合惯量常数为6.9 s，按照全阶模型计算，风电机组在扰动发生约0.5 s后才能提供与同步机相同的惯量水平，跟网型风电机组不能替代扰动发生初期的同步机惯量作用。

进一步，利用平均频率变化率作为主要指标验证风电机组等效惯量量化方法的有效性。其中，基于EMT和频率响应模型的平均频率变化率 $r_{E M T}$ 、 $r_{f r}$ 的计算方式如下：

r_{E M T} (t) = \frac{f_{C O I} (t) - f_{C O I, 0} (t)}{t - t_{0}}

（20）

r_{f r} (t) = \frac{Δ P_{L}}{2 (H_{G 1} + H_{G 2}) + M_{e q} (t)}

（21）

式中： $t_{0}$ 为扰动发生时刻； $H_{G 1}$ 和 $H_{G 2}$ 分别为机组G1和G2的惯量常数。

在16 MW扰动下计算的平均频率变化率结果如图12所示。图中，“无风电惯量”指仅考虑同步机惯量作用，该变化率仅反映扰动发生时刻的频率变化率。

图12 16 MW扰动下各模型得到的平均频率变化率

Fig.12 Average frequency change rates obtained by each model under 16 MW disturbance

由图12可见，模型阶次越低，所得到的平均频率变化率误差越大，全阶模型和5阶模型在扰动发生0.1~2.0 s期间能够较好地计算频率变化率，而2阶模型结果误差偏大，3阶模型误差居中，且3阶模型在扰动发生2 s后与全阶模型的结果曲线重合。从结果来看，3阶模型能够实现计算复杂度和精度的平衡。此外，图12反映了在远离扰动发生时刻，等效惯量模型计算得到的频率变化率误差明显增加，验证了图11的分析结论。

5 结语

本文通过理论推导与仿真计算得到以下结论：

1）锁相型直驱风电机组的等效惯量模型刻画了机组惯量响应功率与频率变化率的动态关系，等效惯量响应由机组内多个不同时间尺度的动态环节共同参与实现，转动轴系、桨距角、PLL、频率滤波为4类主导慢动态环节，机组内其余环节动态在惯量与频率分析中可以忽略。

2）当研究不同时间尺度的特性时，应当按照机组的慢动态到快动态的时间尺度分类选择合适的模型阶次；当研究对象为 $10^{0}$ s级的频率响应动态时，考虑轴系、桨距角动态的2阶模型可以满足工程需要；当研究对象为扰动初期10^-1 s尺度的惯量响应动态时，考虑4类主导慢动态环节的5阶模型更为合适。本文推荐在一般研究中使用3阶模型，可实现精度与复杂度的平衡。

3）风电机组的频率响应由等效惯量和下垂响应组成，所提的定义与理论计算方法可以结合业界已推广的快速调频测试方法给出等效惯量水平的工程测试方法，所提惯量表征方法能够用于预测扰动发生初期的系统平均频率变化率。

4）机理分析方法对模型、参数可知程度要求高，难以直接应用于海量机组实时建模，实际运行中可与实测数据辨识方法结合，提升精度。

本文可为电力系统频率分析提供新能源建模方法和模型选择原则，所提模型可面向场站聚合建模、等效惯量辨识和调频能力分析等诸多场景开展应用。后续研究将围绕气动捕获功率、控制死区等非线性环节的精细化建模进行，进而降低模型的线性化误差，提高模型在大扰动工况和饱和工作区中的计算精度。

附录

附录A

表A1 本文建模对象的控制方式、结构类型

Table A1 Control law and structure of modelling object

控制方式、结构类型	本文风电机组类型
MPPT方式	转速—功率开环控制
变流器结构	背靠背AC/DC/AC、全控型器件
变流器控制方式	矢量控制+PI控制
变流器控制坐标系	DQ旋转坐标
桨距角控制方式	转速+功率双闭环控制
机网同步方式	基于SRF-PLL
发电机类型	永磁同步电机

表A2 直驱风电机组全阶模型参数表

Table A2 Full order model parameters of direct drive wind turbine

环节	参数	数值（和单位）
锁相环	$k_{p p}$	60
锁相环	$k_{i p}$	600
旋转主轴	$H_{w}$	4.82 p.u.
	$K_{w D}$	0.25 p.u.
	$ω_{w N}$	6.545 rad/s
桨距角控制	$k_{i 1}$	20
	$k_{p 1}$	2
	$k_{p 2}$	10
功率控制环	$k_{o p t}$	1.2346
	$T_{f r}$	0.3
	$k_{d r}$	20
	$k_{h}$	15
永磁同步电机	$p$	48
	$R_{m s}$	0.027 p.u.
	$L_{m s}$	0.5131 p.u.
	$ψ$	1.18 p.u.
直流电容	$C_{d c}$	0.0049 p.u.
机侧变流器	$k_{p m q}$	0.136
机侧变流器	$k_{i m q}$	10.8
网侧变流器	$k_{i d c}$	60
	$k_{p d c}$	1.1
	$k_{p V}$	0.5
	$k_{i V}$	40
	$k_{i g d}$ , $k_{i g q}$	50
	$k_{p g d}$ , $k_{p g q}$	1
网侧交流电路	$L_{g}$	0.15 p.u.
网侧交流电路	$R_{g}$	0.003 p.u.

表A3 直驱风电机组全阶模型特征值与相关状态量

Table A3 Eigenvalues and related states of the full-order model of direct driven wind turbine

特征根序号	实部阻尼/(1/s)	虚部频率/Hz	自然频率/Hz	相关状态量
1	-2021.90	0	2021.90	$i_{g q}$
2	-2008.43	0	2008.43	$i_{g d}$
3	-326.30	0	326.30	$U_{d c}$
4	-55.91	0	55.91	$x_{p l l}$ , $f_{p l l}$
5	-54.59	0	54.59	$x_{i g 2}$ , $x_{e g q}$
6	-51.33	0	51.33	$i_{m d}$ , $x_{m 1}$
7、8	-49.93	10.28	50.98	$x_{e g d}$
9、10	-49.83	10.29	50.88	$i_{m q}$ , $x_{m 2}$
11	-37.86	0	37.86	$x_{i g 2}$ , $x_{e g q}$
12	-37.52	0	37.52	$x_{i g 1}$
13	-4.24	0	3.54	$x_{p l l}$ , $f_{p l l}$
14	-1.67	0	1.67	$x_{f r}$
15、16	-0.25	0.06	0.25	$x_{b e t a 1}$ , $ω_{w}$

附录B附录B1 锁相环小信号模型推导

三相同步锁相环的动态方程如式（B1）所示，锁相环坐标系如图A 1所示。

ω_{p l l} = \frac{s θ_{p l l}}{ω_{g N}} = \frac{1}{ω_{g N}} [V_{t} s i n (θ_{V} - θ_{p l l})] (k_{p p} + k_{i p} / s)

（B1）

式中， $θ_{p l l}$ 为锁相环坐标系在系统静止坐标系下的相角，单位为弧度； $ω_{p l l}$ 为锁相坐标系的电气角速度； $ω_{g N}$ 为系统额定电气角速度有名值； $V_{t}$ 为机端电压幅值； $θ_{V}$ 为机端电压矢量在α-β坐标系中的相角； $k_{p p}$ 和 $k_{i p}$ 为PLL的比例、积分系数。

假设扰动发生前锁相环坐标系严格跟踪电网电压相位， $θ_{V} (t_{0}) = θ_{p l l} (t_{0})$ ，两个坐标系内相角与频率有式（A2）所示的关系。

\{\begin{array}{l} s θ_{p l l} = ω_{g N} ω_{p l l} = ω_{g N} f_{p l l} \\ s θ_{V} = ω_{g N} ω_{V} = ω_{g N} f_{V} \end{array}

（B2）

式中， $f_{V}$ 为电网频率，是本文全阶建模的输入量； $f_{p l l}$ 是锁相频率，与锁相坐标系的电气角速度数值相等。

图A1 锁相环坐标系示意图

Fig.A1 PLL coordinate system diagram

将式（B2）代入式（B1），并进行局部线性化，忽略机端电压幅值变化，得到正文式（5）。

附录B2 永磁同步电机模型

永磁同步电机的电气动态以dq坐标系下的两阶模型描述，输入量为机端电压d、q轴分量 $u_{m d}$ 、 $u_{m q}$ ，在标幺值系统下，电机机械角速度和电气角速度数值相等。电动机惯例下的模型如式（B3）所示。

\{\begin{array}{l} s Δ i_{m d} = \frac{ω_{w N} p}{L_{m d}} (Δ u_{m d} - R_{m s} Δ i_{m d} + ω_{w 0} L_{m q} Δ i_{m q} + L_{m q} i_{m q 0} Δ ω_{w}) \\ s Δ i_{m q} = \frac{ω_{w N} p}{L_{m q}} (Δ u_{m q} - R_{m s} Δ i_{m q} - ω_{w 0} L_{m d} Δ i_{m d} - ψ Δ ω_{w} - L_{m d} i_{m d 0} Δ ω_{w}) \end{array}

（B3）

式中， $p$ 为电机极对数； $i_{m d}$ 、 $i_{m q}$ 分别为转子电流d、q轴分量； $R_{m s}$ 为转子等效电阻； $L_{m d}$ 、 $L_{m q}$ 分别为转子d、q轴电感。

永磁同步电机的电磁功率 $P_{m e g}$ 满足式（B4）。

Δ P_{m e g} = ψ i_{m q 0} Δ ω_{w} + ψ ω_{w 0} Δ i_{m q}

（B4）

附录B3直流电容动态

忽略变流器的电阻损耗和电路动态，直流电容电压动态 $U_{d c}$ 可用机侧、网侧的功率作为输入量进行建模，其动态方程如（B5）和（B6）所示。

s Δ U_{d c} = - \frac{U_{d c 0}^{(1)}}{U_{d c 0}} Δ U_{d c} + \frac{1}{U_{d c 0} C_{d c}} (Δ P_{g e} - Δ P_{m e})

（B5）

\{\begin{array}{l} Δ P_{m e} = (\begin{matrix} u_{m q 0} & i_{m q 0} & u_{m d 0} & i_{m d 0} \end{matrix}) {(\begin{matrix} Δ i_{m q} & Δ u_{m q} & Δ i_{m d} & Δ u_{m d} \end{matrix})}^{T} \\ Δ P_{g e} = (\begin{matrix} e_{g q 0} & i_{g q 0} & e_{g d 0} & i_{g d 0} \end{matrix}) {(\begin{matrix} Δ i_{g q} & Δ e_{g q} & Δ i_{g d} & Δ e_{g d} \end{matrix})}^{T} \end{array}

（B6）

式中， $P_{g e}$ 、 $P_{m e}$ 分别为网侧、机侧变流器与电容间的功率； $C_{d c}$ 为直流电容标幺值； $U_{d c 0}^{(1)}$ 为直流电压变化率初值； $i_{g d}$ 、 $i_{g q}$ 分别为网侧交流电流d、q轴分量； $e_{g d}$ 、 $e_{g q}$ 分别为网侧变流器交流侧端口电压d、q轴分量。

附录B4机侧变流器控制

机侧变流器控制环节仅包括电流内环，q轴电流参考值为MPPT功率指令折算的 $i_{m q r e f}$ ，d轴电流参考值为0，其d、q轴电流内环的动态模型分别如（B7）和（B8）所示。

\{\begin{array}{l} s Δ x_{m 1} = - k_{i m d} Δ i_{m d} \\ Δ u_{m d} = Δ x_{m 1} - k_{p m d} Δ i_{m d} - ω_{w 0} L_{m q} Δ i_{m q} - L_{m q} i_{m q 0} Δ ω_{w} \end{array}

（B7）

\{\begin{array}{l} s Δ x_{m 2} = k_{i m q} (Δ i_{m q r e f} - Δ i_{m q}) \\ Δ u_{m q} = Δ x_{m 2} + k_{p m q} (Δ i_{m q r e f} - Δ i_{m q}) + \\ ψ Δ ω_{w} + ω_{w 0} L_{m d} Δ i_{m d} + L_{m d} i_{m d 0} Δ ω_{w} \end{array}

（B8）

式中， $k_{p m q}$ 和 $k_{i m q}$ 分别为电流内环的比例系数和积分系数。

附录B5网侧变流器控制

网侧变流器的d、q轴电压外环控制模型分别如式（B9）和（B10）所示，d、q轴电流内环的控制模型如式（B11）和（B12）所示。

\{\begin{array}{l} s Δ x_{e g d} = k_{i g d} (Δ i_{g d r e f} - Δ i_{g d}) \\ Δ e_{g d} = - k_{p g d} (Δ i_{g d r e f} - Δ i_{g d}) - Δ x_{e g d} + L_{g} f_{p l l 0} Δ i_{g d} + L_{g} i_{g d 0} Δ f_{p l l} + Δ v_{t d} \end{array}

（B11）

\{\begin{array}{l} s Δ x_{e g q} = k_{i g q} (Δ i_{g q r e f} - Δ i_{g q}) \\ Δ e_{g q} = - k_{p g q} (Δ i_{g q r e f} - Δ i_{g q}) - Δ x_{e g q} + L_{g} f_{p l l 0} Δ i_{g q} + L_{g} i_{g q 0} Δ f_{p l l} + Δ v_{t q} \end{array}

（B12）

式中， $k_{i d c}$ 、 $k_{p d c}$ 分别为d轴电压外环的积分、比例系数； $k_{i V}$ 、 $k_{p V}$ 分别为q轴电压外环的积分、比例系数； $V_{t}$ 为机端电压幅值； $k_{i g d}$ 和 $k_{p g d}$ 分别为d轴电流内环的积分、比例系数； $k_{i g q}$ 、 $k_{p g q}$ 为q轴对应系数； $L_{g}$ 为网侧滤波电感。

附录A-6网侧交流电路模型

网侧变流器出口的交流电流由网侧变流器端口电压、机端电压和滤波阻抗的动态共同决定，当以机端频率标幺值替换电气角速度标幺值后，交流电流动态方程如式（A13）所示。

\{\begin{array}{l} s Δ i_{g d} = \frac{ω_{g N}}{L_{g}} (- Δ e_{g d} - R_{g} Δ i_{g d} + f_{V 0} L_{g} Δ i_{g q} + L_{g} i_{g q 0} Δ f_{V} + Δ v_{t d}) \\ s Δ i_{g q} = \frac{ω_{g N}}{L_{g}} (- Δ e_{g q} - R_{g} Δ i_{g q} - f_{V 0} L_{g} Δ i_{g d} - L_{g} i_{g d 0} Δ f_{V} + Δ v_{t q}) \end{array}

（B13）

式中， $ω_{g N}$ 为电网电压额定电角速度有名值； $R_{g}$ 为滤波电阻。

此外，机端电压幅值和机端有功功率是全阶模型的中间代数量，分别如式（A14）和式（A15）所示。

Δ V_{t} = \frac{v_{t d 0}}{V_{t 0}} Δ v_{t d} + \frac{v_{t q 0}}{V_{t 0}} Δ v_{t q}

（B14）

Δ P_{o} = - (\begin{matrix} v_{t q 0} & i_{g q 0} & v_{t d 0} & i_{g d 0} \end{matrix}) {(\begin{matrix} Δ i_{g q} & Δ v_{t q} & Δ i_{g d} & Δ v_{t d} \end{matrix})}^{T}

（B15）

附录C

附录C-1 $A_{Z Z}$ 矩阵的非奇异特性证明

提取正文式（14）关于中间代数量的方程并整理，得到式（C1）。

A_{Z Z} Δ Z = - A_{Z X} Δ X - B_{Z U} Δ U

（C1）

上式的物理含义为直驱风电机组中的中间代数的增量 $Δ Z$ 完全由内部状态量和输入量的增量决定，即运行于平衡点处的风电机组输入量改变时，机组状态变量进入动态，进而引起中间代数量的变化。

当矩阵 $A_{Z Z}$ 奇异时，风电机组的状态量和输入量发生改变，机组的代数量增量将出现无穷多解，显然与实际情况不符。因此， $A_{Z Z}$ 必定满足非奇异条件。另外可知， $A_{Z Z}$ 的主对角上元素均为1。

附录C-2 吉洪诺夫极限定理条件

条件Ⅰ：式（16）中函数 $F (X_{f}, X_{s}, t)$ 和 $f (X_{f}, X_{s}, t)$ 在 $(X_{f}, X_{s}, t)$ 空间中的某个开区域 $G$ 连续，且关于 $X_{f}$ 和 $X_{s}$ 满足Lipschitz条件。

显然，正文式（15）关于 $Δ X$ 的全阶模型为关于 $X_{f}$ 和 $X_{s}$ 的线性函数，其自然满足Lipschitz条件，条件中的 $G = R^{3}$ 。

条件Ⅱ：方程组 $F (X_{f}, X_{s}, t) = 0$ 在 $(X_{s}, t)$ 空间中某个有界闭区域 $\bar{D}$ 存在满足下列条件的解 $X_{f} = φ (X_{s}, t)$ ：

（1） $φ (X_{s}, t)$ 是 $\bar{D}$ 内的连续函数；

（2）当 $(X_{s}, t) \in \bar{D}$ 时， $(φ (X_{s}, t), X_{s}, t) \in G$ ；

（3） $X_{f} = φ (X_{s}, t)$ 在 $\bar{D}$ 上是孤立解。

正文式（15）为关于 $X_{f}$ 和 $X_{s}$ 的线性函数，则条件Ⅱ中的（1）和（2）自然满足；且必然存在 $δ > 0$ ，当 $0 < ‖{\overset{⌢}{X}}_{f} - φ (X_{s}, t)‖ < δ$ 时，使得 $F ({\overset{⌢}{X}}_{f}, X_{s}, t) \neq 0$ ，即 $X_{f} = φ (X_{s}, t)$ 为孤立解。

条件Ⅲ：初值问题

\frac{d {\bar{X}}_{s}}{d t} = f (φ ({\bar{X}}_{s}, t), {\bar{X}}_{s}, t), {\bar{X}}_{s} (0) = {X_{s}}^{0}

（C2）

在区间 $[0, T]$ 上有唯一解 ${\bar{X}}_{s} (t)$ 。

当正文式（15）的输入量为仅与 $t$ 相关的函数时，全阶模型的状态量方程均为常微分方程，（C2）显然满足常微分方程解的存在唯一性定理，经过 ${X_{s}}^{0}$ 必有唯一解。

条件Ⅳ（稳定性条件）：函数 $F$ 关于快动态变量在轨迹任一点的雅可比矩阵 $F_{x f} (X_{f}, X_{s}, t) = \frac{\partial F_{i}}{\partial {X_{f}}_{j}} |_{{\tilde{X}}_{f} = φ ({\tilde{X}}_{s}, t)}$ 的所有特征值满足 $R e λ_{i} (t) < 0$ 。

条件Ⅴ：（1）当慢时间尺度 $τ = \frac{t}{ε} \to + \infty$ 时， ${\tilde{X}}_{f} (τ) \to φ ({X_{s}}^{0}, 0)$ ；

（2）对所有 $τ \geq 0$ ，均有 $({\tilde{X}}_{f}, X_{s}, t) \in G$ 。

式中， ${\tilde{X}}_{f} (τ)$ 为附加方程组（C3）的解。

\frac{d {\tilde{X}}_{f}}{d τ} = F ({\tilde{X}}_{f}, {X_{s}}^{0}, 0), {\tilde{X}}_{f} (0) = {X_{f}}^{0}

（C3）

对正文式（15），当固定 $X_{s} = {X_{s}}^{0}, t = 0$ 时，全阶模型成为关于 ${\tilde{X}}_{f}$ 的线性齐次方程，根据Lyapunov定理，当 $F_{x f} (X_{f}, X_{s}, t) = \frac{\partial F_{i}}{\partial {X_{f}}_{j}} |_{X_{s} = {X_{s}}^{0}, t = 0}$ 的所有特征值实部均小于0时，系统在平衡点 $φ ({X_{s}}^{0}, 0)$ 处渐近稳定，条件Ⅴ中（1）成立，因 $X_{s} = {X_{s}}^{0}, t = 0$ 属于系统轨迹中的初始点，上述条件包含于条件Ⅳ中。且由于式（15）对应 $G = R^{3}$ ，即条件（2）自然满足。

综上，判别直驱风电机组的全阶模型是否可降阶，只需要对条件Ⅳ进行考察即可。

附录 C-3 基于瓦西里耶娃定理的降阶系统时域误差分析

引入瓦西里耶娃定理讨论降阶后时域解的误差特性问题。

瓦西里耶娃提出，原系统［正文式（16）］的精确解由分属两个时间尺度的函数组成：

\{\begin{array}{l} X_{f} (t, ε) = {\bar{X}}_{f} (t, ε) + B X_{f} (τ, ε) \\ X_{s} (t, ε) = {\bar{X}}_{s} (t, ε) + B X_{s} (τ, ε) \end{array}

（C4）

当函数 $F (X_{f}, X_{s}, t)$ 和 $f (X_{f}, X_{s}, t)$ 对所有的变量具有直到N+2阶连续偏导数（记为条件Ⅵ）时，基于匹配渐近展开原则，式（C4）右侧可按 $ε$ 的幂次展开为慢时间尺度函数和边界层函数，两类函数均为N阶渐近序列，如（C5）~（C6）所示。

\{\begin{array}{l} {\bar{X}}_{f} (t, ε) = {\bar{X}}_{f 0} (t) + \dots + ε^{k} {\bar{X}}_{f k} (t) + \dots + ε^{N} {\bar{X}}_{f N} (t) \\ {\bar{X}}_{s} (t, ε) = {\bar{X}}_{s 0} (t) + \dots + ε^{k} {\bar{X}}_{s k} (t) + \dots + ε^{N} {\bar{X}}_{s N} (t) \end{array}

（C5）

\{\begin{array}{l} B {\bar{X}}_{f} (τ, ε) = B_{0} {\bar{X}}_{f} (τ) + \dots + ε^{k} B_{k} {\bar{X}}_{f} (τ) + \dots + ε^{N} B_{N} {\bar{X}}_{f} (τ) \\ B {\bar{X}}_{s} (τ, ε) = B_{0} {\bar{X}}_{s} (τ) + \dots + ε^{k} B_{k} {\bar{X}}_{s} (τ) + \dots + ε^{N} B_{N} {\bar{X}}_{s} (τ) \end{array}

（C6）

式中， ${\bar{X}}_{f k} (t)$ 和 ${\bar{X}}_{s k} (t)$ 分别为快动态和慢动态变量在慢时间尺度下的第 $k$ 个序列项；

式（C6）为边界层级数， $B_{k} {\bar{X}}_{f} (τ)$ 、 $B_{k} {\bar{X}}_{s} (τ)$ 为边界层函数。

式（C5）~（C6）中慢时间尺度函数和边界层函数中的序列项可按照 $ε$ 同次幂的方程组和初值定解条件共同求解，具体方法可参见文献［27］。边界层函数理论已经证明 ${\bar{X}}_{f 0} (t)$ 与 ${\bar{X}}_{s 0} (t)$ 是降阶系统［正文式（17）］的解。至此，上述分析构建了原系统 $ε \to 0$ 时的极限解与慢时间尺度函数展开项之间的关系，进一步采用瓦西里耶娃定理可分析原系统精确解和降阶系统解之间的误差范围。

瓦西里耶娃定理［27］：当原系统满足条件Ⅰ~Ⅴ（附录C-2）时，存在常数 $ε_{0} > 0$ 和 $c > 0$ ，使得当 $ε \in (0, ε_{0}]$ 时，原问题在区间 $[0, T]$ 上存在唯一解，且满足：

\{\begin{array}{l} ‖X_{f} (t, ε) - \sum_{k = 0}^{N} ε^{k} [{\bar{X}}_{f k} (t) + B_{k} {\bar{X}}_{f} (τ)]‖ \leq c ε^{N + 1} \\ ‖X_{s} (t, ε) - \sum_{k = 0}^{N} ε^{k} [{\bar{X}}_{s k} (t) + B_{k} {\bar{X}}_{s} (τ)]‖ \leq c ε^{N + 1} \end{array}

（C7）

式中， $‖\cdot‖$ 为∞范数，即 $‖X‖ = s u p |x_{i}|$ 。

取N=0时，式（C7）变为

\{\begin{array}{l} ‖X_{f} (t, ε) - [{\bar{X}}_{f 0} (t) + B_{0} {\bar{X}}_{f} (τ)]‖ \leq c ε \\ ‖X_{s} (t, ε) - [{\bar{X}}_{s 0} (t) + B_{0} {\bar{X}}_{s} (τ)]‖ \leq c ε \end{array}

（C8）

同时，根据边界层函数理论，慢动态变量的边界层函数首项恒等于0，而快动态变量的边界层函数首项随 $τ$ 的增加趋向0，因此，对于任意的 $δ > 0$ ，均存在 $τ_{0}$ ，使 $‖B_{0} {\bar{X}}_{f} (τ)‖ \leq δ$ 。上述条件整理为式（C9）。

\{\begin{array}{l} ‖B_{0} {\bar{X}}_{f} (τ)‖ \leq δ, τ > τ_{0} (δ) \\ ‖B_{0} {\bar{X}}_{s} (τ)‖ \equiv 0, τ \geq 0 \end{array}

（C9）

将（C9）代入（C8），由范数三角不等式得到：

\{\begin{array}{l} ‖X_{f} (t, ε) - {\bar{X}}_{f 0} (t)‖ \leq c ε + δ, ε τ_{0} (δ) \leq t \leq T \\ ‖X_{s} (t, ε) - {\bar{X}}_{s 0} (t)‖ \leq c ε, 0 \leq t \leq T \end{array}

（C10）

式（C10）的物理意义是，当摄动参数 $ε$ 比较小时，经过一小段时间 $ε τ_{0}$ 后，原系统和降阶系统的解在范数意义下的最大误差与 $ε$ 同阶。

直驱风电机组的有功功率作为输出量，主要由网侧交流电流动态决定，在下文的分析将证明，网侧交流电流属于快动态变量。

根据离散形式的Hölder不等式，结合正文式（15）和（C10），降阶系统的机端有功功率绝对误差的范围估计公式为

\begin{array}{l} |P_{O} (t, ε) - {\tilde{P}}_{O} (t)| \leq ‖P_{O} (t, ε) - {\tilde{P}}_{O} (t)‖ = ‖C_{s s}^{r o} X_{f} (t, ε) - C_{s s}^{r o} {\bar{X}}_{f 0} (t)‖ \leq ‖C_{s s}^{r o}‖ ‖X_{f} (t, ε) - {\bar{X}}_{f 0} (t)‖ \leq \\ ‖C_{s s}^{r o}‖ (c ε + δ) = m a x (|v_{t d 0}|, |v_{t q 0}|) (c ε + δ), ε τ_{0} (δ) \leq t \leq T \end{array}

（C11）

式中， $P_{O} (t, ε)$ 、 ${\tilde{P}}_{O} (t)$ 分别为为全阶模型和降阶模型下求解的有功功率； $C_{s s}^{r o}$ 为输出-状态量矩阵中删除慢动态变量元素的降阶矩阵； $‖C_{s s}^{r o}‖$ 取为其最大绝对值元素的数值。

附录D

本节给出正文式(14)各系数矩阵的展开形式。

B_{X U} = (\begin{matrix} 0 & k_{i p} V_{t 0} & 0 & 0 \\ 0 & k_{p p} V_{t 0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{L_{g} i_{g q 0} ω_{g N}}{L_{g}} & \frac{ω_{g N}}{L_{g}} & 0 \\ 0 & - \frac{L_{g} i_{g d 0} ω_{g N}}{L_{g}} & 0 & \frac{ω_{g N}}{L_{g}} \end{matrix})

B_{Z U} = (\begin{matrix} \frac{ρ π R^{2} v_{w 0}^{2}}{2 P_{b a s e}} (\frac{2 C_{P 0}}{v_{w 0}} + \frac{\partial C_{P}}{\partial v_{w}}) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i_{g d 0} & - i_{g q 0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{v_{t d 0}}{V_{t 0}} & \frac{v_{t q 0}}{V_{t 0}} \end{matrix})

C_{Y X} = (\begin{matrix} 0_{1 \times 14} & - v_{t d 0} & - v_{t q 0} \end{matrix})

C_{Y Z} = 0_{1 \times 17}

D_{Y U} = {(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - i_{g d 0} \\ - i_{g q 0} \end{matrix})}^{T}

附录E

多时间尺度惯量机理模型的参数展开式。

1 5阶模型参数

\{\begin{array}{l} D_{4} = 2 C_{3} H_{w} ω_{w 0} k_{p p} k_{h} \\ D_{3} = C_{2} (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) ψ ω_{w 0} k_{p p} k_{h} + C_{3} K_{2} k_{p p} k_{h} + C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} (k_{p p} k_{d r} + k_{h} k_{i p}) \\ D_{2} = C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{i 1} ψ ω_{w 0} k_{p p} k_{h} + C_{2} (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) ψ ω_{w 0} (k_{p p} k_{d r} + k_{h} k_{i p}) \\ + C_{3} K_{2} (k_{p p} k_{d r} + k_{h} k_{i p}) + C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} k_{d r} k_{i p} \\ D_{1} = C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{i 1} ψ ω_{w 0} (k_{p p} k_{d r} + k_{h} k_{i p}) + C_{2} (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) ψ ω_{w 0} k_{d r} k_{i p} + C_{3} K_{2} k_{d r} k_{i p} \\ D_{0} = C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{i 1} ψ ω_{w 0} k_{d r} k_{i p} \end{array}

（E1）

\{\begin{array}{l} E_{5} = 2 H_{w} ω_{w 0} T_{f r} \\ E_{4} = K_{2} T_{f r} - C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{p 1} T_{f r} + 2 H_{w} ω_{w 0} T_{f r} k_{p p} \\ E_{3} = - C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{i 1} T_{f r} + K_{2} T_{f r} k_{p p} - C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{p 1} T_{f r} k_{p p} + 2 H_{w} ω_{w 0} T_{f r} k_{i p} \\ E_{2} = - C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{i 1} T_{f r} k_{p p} + K_{2} T_{f r} k_{i p} - C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{p 1} T_{f r} k_{i p} \\ E_{1} = - C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{i 1} T_{f r} k_{i p} \\ E_{0} = 0 \end{array}

（E2）

\{\begin{array}{l} F_{5} = k_{d r} E_{5} \\ F_{4} = k_{d r} E_{4} + D_{4} \\ F_{3} = k_{d r} E_{3} + D_{3} \\ F_{2} = k_{d r} E_{2} + D_{2} \\ F_{1} = k_{d r} E_{1} + D_{1} \\ F_{0} = k_{d r} E_{0} + D_{0} \end{array}

（E3）

\{\begin{array}{l} C_{1} = 0 \\ C_{2} = i_{m q 0} ψ \\ C_{3} = u_{m q 0} + i_{m q 0} R_{m s} \\ K_{1} = \frac{ρ π R^{2} v_{w 0}^{2}}{2 P_{b a s e}} \\ K_{2} = 2 H_{w} K_{w D} ω_{w 0} - K_{1} ω_{w N} C_{P 1} - K_{1} C_{P 2} k_{p 2} - ψ i_{m q 0} \end{array}

（E4）

2 3阶模型系数

\{\begin{array}{l} M_{3} = C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} k_{h} \\ M_{2} = C_{2} (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) k_{h} + K_{2} C_{3} k_{h} + C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} k_{d r} \\ M_{1} = C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{i 1} k_{h} + C_{2} (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) k_{d r} + K_{2} C_{3} k_{d r} \\ M_{0} = C_{2} K_{1} C_{P 2} k_{i 1} k_{d r} \end{array}

（E5）

\{\begin{array}{l} N_{3} = 2 H_{w} ω_{w 0} T_{f r} \\ N_{2} = 2 H_{w} ω_{w 0} + K_{2} T_{f r} - K_{1} C_{P 2} C_{2} k_{p 1} T_{f r} \\ N_{1} = K_{2} - K_{1} C_{P 2} C_{2} k_{p 1} - K_{1} C_{P 2} C_{2} k_{i 1} T_{f r} \\ N_{0} = - K_{1} C_{P 2} C_{2} k_{i 1} \end{array}

（E6）

\{\begin{array}{l} O_{3} = M_{3} + k_{d r} N_{3} \\ O_{2} = M_{2} + k_{d r} N_{2} \\ O_{1} = M_{1} + k_{d r} N_{1} \\ O_{0} = M_{0} + k_{d r} N_{0} \end{array}

（E7）

式中的系数 $K_{i}$ 和 $C_{i}$ 与（E4）一致。

3 2阶模型系数

\{\begin{array}{l} R_{2} = 2 H_{w} ω_{w 0} \\ R_{1} = K_{2} - K_{1} C_{P 2} C_{2} k_{p 1} \\ R_{0} = - K_{1} C_{P 2} C_{2} k_{i 1} \end{array}

（E8）

\{\begin{array}{l} T_{3} = M_{3} \\ T_{2} = M_{2} + k_{d r} R_{2} \\ T_{1} = M_{1} + k_{d r} R_{1} \\ T_{0} = M_{0} + k_{d r} R_{0} \end{array}

（E9）

2阶模型中的 $M_{i}$ 系数与3阶模型一致，且系数 $K_{i}$ 和 $C_{i}$ 与（E4）一致。

附录F

本节给出等效惯量机理模型的推导过程。

1、对包含 $x_{b e t a 1}$ ， $ω_{w}$ ， $x_{f r}$ ， $x_{p l l}$ ， $f_{p l l}$ 状态变量的5阶等效惯量模型。

由于网侧交流电阻数值较小，可忽略其有功损耗，并考虑到变流器采用了无损模型，所以 $Δ P_{g e} = Δ P_{o}$ 。忽略电容动态，由电容动态方程可知 $Δ P_{g e} = Δ P_{m e}$ 。

忽略电压动态的机侧电压方程为

\{\begin{array}{l} Δ u_{m d} = R_{m s} Δ i_{m d r e f} - ω_{w 0} L_{m q} Δ i_{m q r e f} - L_{m q} i_{m q 0} Δ ω_{w} \\ Δ u_{m q} = R_{m s} Δ i_{m q r e f} + ω_{w 0} L_{m d} Δ i_{m d r e f} + ψ Δ ω_{w} + L_{m d} i_{m d 0} Δ ω_{w} \end{array}

（F1）

忽略机侧电流内环的动态过程，且有 $Δ i_{m d r e f} = 0$ ，得到

Δ P_{m e} = (u_{m q 0} + i_{m q 0} R_{m s} - i_{m d 0} ω_{w 0} L_{m q}) Δ i_{m q r e f} + (i_{m q 0} ψ + i_{m q 0} L_{m d} i_{m d 0} - i_{m d 0} L_{m q} i_{m q 0}) Δ ω_{w}

（F2）

联立正文式（10）—（13），展开 $Δ i_{m q r e f}$ ，得到

Δ i_{m q r e f} = \frac{P_{m e r e f 0}}{ψ {ω_{w 0}}^{2}} Δ ω_{w} - \frac{1}{ψ ω_{w 0}} (3 k_{o p t} {ω_{w 0}}^{2} Δ ω_{w} + Δ P_{f r})

（F3）

进一步，化简 $Δ P_{f r}$ ，得到

Δ P_{f r} = - \frac{k_{d r} + s k_{h}}{(1 + s T_{f r})} Δ f_{p l l}

（F4）

由正文式（7）得到

2 H_{w} s ω_{w 0} Δ ω_{w} + 2 H_{w} K_{w D} ω_{w 0} Δ ω_{w} + 2 \frac{H_{w}}{ω_{w 0}} (P_{w m 0} + P_{m e g 0}) Δ ω_{w} = Δ P_{w m} + ψ i_{m q 0} Δ ω_{w} + ψ ω_{w 0} Δ i_{m q r e f}

（F5）

需要展开（F5）中的 $Δ P_{w m}$ 项，

Δ P_{w m} = \frac{ρ π R^{2} v_{w 0}^{2}}{2 P_{b a s e}} [ω_{w N} \frac{\partial C_{P}}{\partial ω_{w}^{S I}} Δ ω_{w} + \frac{\partial C_{P}}{\partial β} Δ β + (\frac{2 C_{P 0}}{v_{w 0}} + \frac{\partial C_{P}}{\partial v_{w}}) Δ v_{w}] ≜ K_{1} (ω_{w N} C_{P 1} Δ ω_{w} + C_{P 2} Δ β + C_{P 3} Δ v_{w})

（F6）

其中的桨距角动态为

Δ β = (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s}) [Δ P_{o} + \frac{k_{d r} + s k_{h}}{(1 + s T_{f r})} Δ f_{p l l}] + k_{p 2} Δ ω_{w}

（F7）

代入（F6），得到

\begin{array}{l} Δ ω_{w} = \frac{K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s})}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ P_{o} + \frac{K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s}) (k_{d r} + s k_{h})}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}) (1 + s T_{f r})} Δ f_{p l l} + \\ \frac{K_{1} C_{P 3}}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ v_{w} + \frac{1}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ P_{f r} \end{array}

（F8）

系数 $K_{2}$ 取值为

K_{2} = 2 H_{w} K_{w D} ω_{w 0} + 2 \frac{H_{w}}{ω_{w 0}} (P_{w m 0} + P_{m e g 0}) - K_{1} ω_{w N} C_{P 1} - K_{1} C_{P 2} k_{p 2} - \frac{P_{m e r e f 0}}{ω_{w 0}} + 3 k_{o p t} {ω_{w 0}}^{2} - ψ i_{m q 0}

锁相环环节中的 $Δ f_{p l l}$ 动态方程为

Δ f_{p l l} = \frac{k_{p p} s + k_{i p}}{s^{2} + s k_{p p} + k_{i p}} V_{t 0} Δ f_{v}

（F9）

将（F4）和（F9）代入（F8），得到

\begin{array}{l} Δ ω_{w} = \frac{K_{1} C_{P 2} k_{p 1} s + K_{1} C_{P 2} k_{i 1}}{2 H_{w} ω_{w 0} s^{2} + K_{2} s} Δ P_{o} + \frac{[K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s}) - 1] (k_{d r} + s k_{h}) (k_{p p} s + k_{i p})}{(1 + s T_{f r}) (s^{2} + s k_{p p} + k_{i p}) (2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} V_{t 0} Δ f_{v} + \\ \frac{K_{1} C_{P 3}}{2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}} Δ v_{w} \end{array}

（F10）

联立（F2），（F3），（F4），（F9），（F10），得到

\begin{array}{l} Δ P_{m e} = [(u_{m q 0} + i_{m q 0} R_{m s} - i_{m d 0} ω_{w 0} L_{m q}) \frac{P_{m e r e f 0} - 3 k_{o p t} {ω_{w 0}}^{3}}{ψ {ω_{w 0}}^{2}} + (i_{m q 0} ψ + i_{m q 0} L_{m d} i_{m d 0} - i_{m d 0} L_{m q} i_{m q 0})] \\ \frac{K_{1} C_{P 2} k_{p 1} s + K_{1} C_{P 2} k_{i 1}}{2 H_{w} ω_{w 0} s^{2} + K_{2} s} Δ P_{o} + [(u_{m q 0} + i_{m q 0} R_{m s} - i_{m d 0} ω_{w 0} L_{m q}) \frac{P_{m e r e f 0} - 3 k_{o p t} {ω_{w 0}}^{3}}{ψ {ω_{w 0}}^{2}} + \\ (i_{m q 0} ψ + i_{m q 0} L_{m d} i_{m d 0} - i_{m d 0} L_{m q} i_{m q 0})] \frac{[K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s}) - 1] (k_{d r} + s k_{h}) (k_{p p} s + k_{i p})}{(1 + s T_{f r}) (s^{2} + s k_{p p} + k_{i p}) (2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} V_{t 0} Δ f_{v} + \\ \frac{(u_{m q 0} + i_{m q 0} R_{m s} - i_{m d 0} ω_{w 0} L_{m q}) (k_{d r} + s k_{h}) (k_{p p} s + k_{i p})}{ψ ω_{w 0} (1 + s T_{f r}) (s^{2} + s k_{p p} + k_{i p})} V_{t 0} Δ f_{v} + \\ [(u_{m q 0} + i_{m q 0} R_{m s} - i_{m d 0} ω_{w 0} L_{m q}) \frac{P_{m e r e f 0} - 3 k_{o p t} {ω_{w 0}}^{3}}{ψ {ω_{w 0}}^{2}} + \\ (i_{m q 0} ψ + i_{m q 0} L_{m d} i_{m d 0} - i_{m d 0} L_{m q} i_{m q 0})] \frac{K_{1} C_{P 3}}{2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}} Δ v_{w} \end{array}

（F11）

考虑到 $Δ P_{m e} = Δ P_{o}$ ，并只关注 $Δ P_{o} - Δ f_{v}$ 路径，即得5阶频率响应模型为 $G_{f r - 5}$

Δ P_{o} = G_{f r - 5} Δ f_{v} = \frac{D_{4} s^{4} + D_{3} s^{3} + D_{2} s^{2} + D_{1} s + D_{0}}{E_{5} s^{5} + E_{4} s^{4} + E_{3} s^{3} + E_{2} s^{2} + E_{1} s + E_{0}} Δ f_{v}

（F12）

机组对应的等效惯量为

M_{e q - 5} = - \frac{G_{f r} + K_{e q}}{s} = - \frac{F_{5} s^{5} + F_{4} s^{4} + F_{3} s^{3} + F_{2} s^{2} + F_{1} s + F_{0}}{E_{5} s^{6} + E_{4} s^{5} + E_{3} s^{4} + E_{2} s^{3} + E_{1} s^{2} + E_{0} s}

（F13）

式中各参数的表达式如（F14）—（F17）所示。

\{\begin{array}{l} D_{4} = C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} k_{p p} k_{h} \\ D_{3} = (C_{1} + C_{2}) (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) ψ ω_{w 0} k_{p p} k_{h} + C_{3} K_{2} k_{p p} k_{h} + C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} (k_{p p} k_{d r} + k_{h} k_{i p}) \\ D_{2} = (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{i 1} ψ ω_{w 0} k_{p p} k_{h} + (C_{1} + C_{2}) (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) ψ ω_{w 0} (k_{p p} k_{d r} + k_{h} k_{i p}) \\ + C_{3} K_{2} (k_{p p} k_{d r} + k_{h} k_{i p}) + C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} k_{d r} k_{i p} \\ D_{1} = (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{i 1} ψ ω_{w 0} (k_{p p} k_{d r} + k_{h} k_{i p}) + (C_{1} + C_{2}) (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) ψ ω_{w 0} k_{d r} k_{i p} + C_{3} K_{2} k_{d r} k_{i p} \\ D_{0} = (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{i 1} ψ ω_{w 0} k_{d r} k_{i p} \end{array}

（F14）

\{\begin{array}{l} E_{5} = 2 H_{w} ω_{w 0} T_{f r} \\ E_{4} = K_{2} T_{f r} - (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{p 1} T_{f r} + 2 H_{w} ω_{w 0} T_{f r} k_{p p} \\ E_{3} = - (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{i 1} T_{f r} + K_{2} T_{f r} k_{p p} - (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{p 1} T_{f r} k_{p p} + 2 H_{w} ω_{w 0} T_{f r} k_{i p} \\ E_{2} = - (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{i 1} T_{f r} k_{p p} + K_{2} T_{f r} k_{i p} - (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{p 1} T_{f r} k_{i p} \\ E_{1} = - (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{i 1} T_{f r} k_{i p} \\ E_{0} = 0 \end{array}

（F15）

\{\begin{array}{l} F_{5} = k_{d r} E_{5} \\ F_{4} = k_{d r} E_{4} + D_{4} \\ F_{3} = k_{d r} E_{3} + D_{3} \\ F_{2} = k_{d r} E_{2} + D_{2} \\ F_{1} = k_{d r} E_{1} + D_{1} \\ F_{0} = k_{d r} E_{0} + D_{0} \end{array}

（F16）

\{\begin{array}{l} C_{1} = C_{3} \frac{P_{m e r e f 0} - 3 k_{o p t} {ω_{w 0}}^{3}}{ψ {ω_{w 0}}^{2}} \\ C_{2} = (i_{m q 0} ψ + i_{m q 0} L_{m d} i_{m d 0} - i_{m d 0} L_{m q} i_{m q 0}) \\ C_{3} = (u_{m q 0} + i_{m q 0} R_{m s} - i_{m d 0} ω_{w 0} L_{m q}) \end{array}

（F17）

考虑到机组的稳态运行点一般存在（F18）所示的关系，参数（F14）—（F17）可进一步化简，简化形式如附录E中（E1）—（E4）所示。

\{\begin{array}{l} P_{m e r e f 0} = 3 k_{o p t} {ω_{w 0}}^{3} \\ i_{m d 0} = 0 \\ P_{w m 0} = - P_{m e g 0} \end{array}

（F18）

2、对包含 $x_{b e t a 1}$ ， $ω_{w}$ ， $x_{f r}$ 状态变量的3阶等效惯量模型。

与5阶模型相比，3阶模型忽略锁相环的跟踪动态，即 $Δ f_{p l l} = Δ f_{v}$ 。将（F4）代入（F8），得到

Δ ω_{w} = \frac{K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s})}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ P_{o} + \frac{K_{1} C_{P 3}}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ v_{w} + \frac{[K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s}) - 1] (k_{d r} + s k_{h})}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}) (1 + s T_{f r})} Δ f_{v}

（F19）

式中的系数 $K_{1}$ 与 $K_{2}$ 与5阶模型中的表达式一致。

联立（F2），（F3），（F4），（F19），得到

\begin{array}{l} Δ P_{m e} = \frac{(C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s})}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ P_{o} + \frac{(C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 3}}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ v_{w} + \\ \frac{[(C_{1} + C_{2}) (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} s + K_{1} C_{P 2} k_{i 1} - s) + C_{3} s (2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})] (k_{d r} + s k_{h})}{s (2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}) (1 + s T_{f r})} Δ f_{v} \end{array}

（F20）

考虑到 $Δ P_{m e} = Δ P_{o}$ ，并只关注 $Δ P_{o} - Δ f_{v}$ 路径，得到3阶频率响应模型 $G_{f r - 3}$ ，如（F21）所示。

\begin{array}{l} Δ P_{o} = \frac{[(C_{1} + C_{2}) (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} s + K_{1} C_{P 2} k_{i 1} - s) + C_{3} s (2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})] (k_{d r} + s k_{h})}{[(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}) s - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) (k_{p 1} s + k_{i 1})] (1 + s T_{f r})} Δ f_{v} = \\ G_{f r - 3} Δ f_{v} = \frac{M_{3} s^{3} + M_{2} s^{2} + M_{1} s + M_{0}}{N_{3} s^{3} + N_{2} s^{2} + N_{1} s + N_{0}} Δ f_{v} \end{array}

（F21）

3　阶模型对应的等效惯量模型为

M_{e q - 3} = - \frac{G_{f r - 3} + k_{d r}}{s} = - \frac{O_{3} s^{3} + O_{2} s^{2} + O_{1} s + O_{0}}{N_{3} s^{4} + N_{2} s^{3} + N_{1} s^{2} + N_{0} s}

（F22）

式中各系数如（F23）—（F25）所示。

\{\begin{array}{l} M_{3} = C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} k_{h} \\ M_{2} = (C_{1} + C_{2}) (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) k_{h} + K_{2} C_{3} k_{h} + C_{3} 2 H_{w} ω_{w 0} k_{d r} \\ M_{1} = (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{i 1} k_{h} + (C_{1} + C_{2}) (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} - 1) k_{d r} + K_{2} C_{3} k_{d r} \\ M_{0} = (C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 2} k_{i 1} k_{d r} \end{array}

（F23）

\{\begin{array}{l} N_{3} = 2 H_{w} ω_{w 0} T_{f r} \\ N_{2} = 2 H_{w} ω_{w 0} + K_{2} T_{f r} - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) k_{p 1} T_{f r} \\ N_{1} = K_{2} - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) k_{p 1} - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) k_{i 1} T_{f r} \\ N_{0} = - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) k_{i 1} \end{array}

（F24）

\{\begin{array}{l} O_{3} = M_{3} + k_{d r} N_{3} \\ O_{2} = M_{2} + k_{d r} N_{2} \\ O_{1} = M_{1} + k_{d r} N_{1} \\ O_{0} = M_{0} + k_{d r} N_{0} \end{array}

（F25）

若对稳态运行点继续采用假设（F18），可得到（F23）—（F25）各系数的简化形式，见附录E中的（E5）—（E7）。

3、对包含 $x_{b e t a 1}$ ， $ω_{w}$ 状态变量的2阶等效惯量模型。

与5阶模型相比，忽略 $x_{f r}$ ， $x_{p l l}$ ， $f_{p l l}$ 的动态后，锁相频率严格跟踪电网频率，且机组无频率滤波环节。将 $Δ f_{p l l} = Δ f_{v}$ 和 $Δ P_{f r} = - (k_{d r} + s k_{h}) Δ f_{p l l}$ 代入（F8），得到

Δ ω_{w} = \frac{K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s})}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ P_{o} + \frac{K_{1} C_{P 3}}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ v_{w} + \frac{[K_{1} C_{P 2} (k_{p 1} + \frac{k_{i 1}}{s}) - 1] (k_{d r} + s k_{h})}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})} Δ f_{v}

（F26）

式中的系数 $K_{1}$ 与 $K_{2}$ 与5阶模型中的表达式一致。

联立（F2），（F3），（F26），以及 $Δ P_{m e} = Δ P_{o}$ ，得到

\begin{array}{l} Δ P_{o} = \frac{(C_{1} + C_{2}) K_{1} C_{P 3} s}{(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}) s - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) (k_{p 1} s + k_{i 1})} Δ v_{w} + \\ \frac{[(C_{1} + C_{2}) (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} s + K_{1} C_{P 2} k_{i 1} - s) + C_{3} s (2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})] (k_{d r} + s k_{h})}{[(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}) s - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) (k_{p 1} s + k_{i 1})]} Δ f_{v} \end{array}

（F27）

主要关注（F27）中的 $Δ P_{o} - Δ f_{v}$ 路径，得到2阶模型的频率响应函数为

\begin{array}{l} Δ P_{o} = \frac{[C_{2} (K_{1} C_{P 2} k_{p 1} s + K_{1} C_{P 2} k_{i 1} - s) + C_{1} s (2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2})] (k_{d r} + s k_{h})}{[(2 H_{w} ω_{w 0} s + K_{2}) s - K_{1} C_{P 2} C_{2} (k_{p 1} s + k_{i 1})]} Δ f_{v} = \\ G_{f r - 2} Δ f_{v} = \frac{M_{3} s^{3} + M_{2} s^{2} + M_{1} s + M_{0}}{R_{2} s^{2} + R_{1} s + R_{0}} Δ f_{v} \end{array}

（F28）

2　阶模型对应的等效惯量模型为

M_{e q - 2} = - \frac{G_{f r - 2} + k_{d r}}{s} = - \frac{T_{3} s^{3} + T_{2} s^{2} + T_{1} s + T_{0}}{R_{2} s^{3} + R_{1} s^{2} + R_{0} s}

（F29）

式中各系数如（F23），（F30），（F31）所示。

\{\begin{array}{l} R_{2} = 2 H_{w} ω_{w 0} \\ R_{1} = K_{2} - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) k_{p 1} \\ R_{0} = - K_{1} C_{P 2} (C_{1} + C_{2}) k_{i 1} \end{array}

（F30）

\{\begin{array}{l} T_{3} = M_{3} \\ T_{2} = M_{2} + k_{d r} R_{2} \\ T_{1} = M_{1} + k_{d r} R_{1} \\ T_{0} = M_{0} + k_{d r} R_{0} \end{array}

（F31）

若对稳态运行点继续采用假设（F18），可得到各系数的简化形式，见附录E中的（E8）—（E9）。

附录G

本附录为仿真计算的部分结果和相关分析。

图G1 仿真系统

Fig.G1 Simulation system

(a) 全过程

(b) 局部放大图

图G2 Load2发生8MW扰动时各电源频率过程

Fig.G2 The frequency of power sources when an 8MW-disturbance occurs at Load2Fig.G 3

(a) 风电机组主轴转速 $ω_{w}$ （慢动态）

(b) 风电机组PLL频率 $f_{p l l}$ （混合动态）

(d) 电容电压 $U_{d c}$ （快动态）

(e) 网侧d轴电流 $i_{g d}$ （超快动态）

图G3 8 MW扰动下全阶模型各状态量计算精度对比

Fig.G3 Comparison of the accuracy of states calculated by full-order model under 8MW disturbance

图G4 1.6MW扰动下各模型对风电机组有功的计算结果(扰动后初期局部放大图)

Fig.G4 Result of the active power of different models under 1.6MW disturbance

图G5 16MW扰动下各模型对风电机组有功的计算结果((扰动后初期局部放大图))

Fig.G5 Result of the active power of different models under 16MW disturbance

表G1 各阶简化模型的传递函数

Table G1 Transfer functions of different simplified models

阶数	模型类型	计算结果
5阶	频率响应	$G_{f r - 5} = - \frac{4.76 s^{4} + 23.30 s^{3} + 57.31 s^{2} + 9.53 s + 4.37}{s^{5} + 61.61 s^{4} + 327.81 s^{3} + 490.59 s^{2} + 225.75 s + 68.59}$
5阶	等效惯量	$M_{e q - 5} = - \frac{20 s^{5} + 1227 s^{4} + 6533 s^{3} + 9785 s^{2} + 4506 s + 1368}{s^{6} + 61.61 s^{5} + 327.81 s^{4} + 490.59 s^{3} + 225.75 s^{2} + 68.59 s}$
3阶	频率响应	$G_{f r - 3} = - \frac{0.08 s^{3} + 0.13 s^{2} + 0.04 s + 0.02}{s^{3} + 2.16 s^{2} + 1.04 s + 0.35}$
3阶	等效惯量	$M_{e q - 3} = - \frac{19.92 s^{3} + 43.14 s^{2} + 20.67 s + 6.9}{s^{4} + 2.16 s^{3} + 1.04 s^{2} + 0.35 s}$
2阶	频率响应	$G_{f r - 2} = \frac{0.08 s^{3} + 0.13 s^{2} + 0.04 s + 0.02}{s^{2} + 0.50 s + 0.21}$
2阶	等效惯量	$M_{e q - 2} = - \frac{0.08 s^{3} + 20.13 s^{2} + 10.04 s + 4.22}{s^{3} + 0.50 s^{2} + 0.21 s}$

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期刊简介

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紫金论电

MPCE

基于全阶模型的直驱风电机组多时间尺度等效惯量机理建模

摘要

关键词

0 引言

1 直驱风电机组等效惯量特性分析

1.1 等效惯量的概念及数学表征

1.2 风电机组等效惯量的相关环节分析

2 直驱风电机组频率响应全阶建模

2.1 PLL动态模型

2.2 机械环节动态模型

2.3 功率控制环动态模型

2.4 电气量及控制环节模型

2.5 系统全阶模型

3 基于奇异摄动的多时间尺度惯量降阶模型

3.1 模型降阶等效性论证

3.2 时域误差分析

3.3 风电机组快慢动态划分

3.4 多时间尺度惯量机理模型

4 仿真计算

4.1 系统动态过程分析

4.2 全阶模型有效性验证

4.3 各阶简化模型效果验证

4.4 时域误差分析

4.5 等效惯量量化

5 结语

附录

附录A

附录B附录B1 锁相环小信号模型推导

附录B2 永磁同步电机模型

附录B3直流电容动态

附录B4机侧变流器控制

附录B5网侧变流器控制

附录C

附录D

附录E

附录F

附录G

参 考 文 献

1.1　等效惯量的概念及数学表征

1.2　风电机组等效惯量的相关环节分析

2.1　PLL动态模型

2.2　机械环节动态模型

2.3　功率控制环动态模型

2.4　电气量及控制环节模型

2.5　系统全阶模型

3.1　模型降阶等效性论证

3.2　时域误差分析

3.3　风电机组快慢动态划分

3.4　多时间尺度惯量机理模型

4.1　系统动态过程分析

4.2　全阶模型有效性验证

4.3　各阶简化模型效果验证

4.4　时域误差分析

4.5　等效惯量量化

参考文献